Dm Nombres Complexes (ts)

[Hima83]

Le plan complexe est muni d'un repère (O; u, v) orthonormal direct ; A, A', B et B' sont le spoints d'affixes respectives 1, -1, i, -i.

A tout point M, d'affixe z, distinct de O, A, A', B et B' on associe les points M₁ et M₂ d'affixes z₁ et z₂ tels que les triangles BMM₁ et AMM₂ sont rectangles et isocèles tels que :

(M₁B(vecteur),M₁M(vecteur)) = (M₂M(vecteur),M₂A(vecteur) = Pi/2

1. Faites une figure.

2. a ) Justifiez les égalités :

z - z₁ = i(i - z₁ ) et 1 - z₂ = i(z - z₂ ).

b ) Vérifiez que z₁ et z₂ peuvent s'écrire sous la forme :

z₁ = ((1+i)/2) x (z + 1) et z₂ = ((1-i)/2) x (z + i).

3. On se propose de trouver les points M tels que le triangle OM₁M₂ est équilatéral.

a ) Prouvez que OM₁ = OM₂ équivaut à |z + 1| = |z + i|.

Déduisez-en l'ensemble des points M tels que OM₁ = OM₂. Tracez .

b ) Prouvez que OM₁ = M₁M₂ équivaut à |z + 1|² = 2|z|².

c ) Déduisez-en l'ensemble des points M tels que OM₁ = M₁M₂. Tracez .

d ) Déduisez-en les deux points M pour lesquels OM₁M₂ est un triangle équilatéral. Placez-les.

[Hima83]

Bonsoir*

J'ai refais ce post avec les vraies écritures car sur l'autre, l'exercice n'était pas vraiment compréhensible. Merci de nouveau pour votre aide éventuelle

[Barbidoux]

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le triangle BMM₁ est rectangle isocèle ce qui signifie que le vecteur M₁M est obtenu à partir du vecteur M₁B par une rotation de centre M1 et d’angle /2.

M₁M=z-z1

M₁B=z1-i

(z1-i)=i*(z-z1)==> (z-z1)=i*(i-z1)

et AMM₂ est rectangle isocèle ce qui signifie que le vecteur M₂ M est obtenu à partir du vecteur AM₂ par une rotation de de centre M2 et d’angle /2.

M₂ M =z2-z

AM₂=1-z2

(z2-z)=i*(1-z2)===> 1 - z2 = i*(z - z2 ).

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(z-z1)=i*(i-z1) ==> z1*(1-i)=z+1 ==> z1*(1-i)*(1+i)=(1+i)*(z+1) ==>z1=((1+i)/2)*(z+1)

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1 - z2 = i*(z - z2 ) ==>i*(1 - z2) = -(z - z2 ) ==>z2*(1+i)=z+i ==>z2*(1+i)*(1-i)=(1-i)*(z+i )==>z2=((1-i)/2)*(z+i)

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|OM₁|=|OM₂| ==> |z1|=|z2| ==>|((1+i)/2)*(z + 1)|=|((1-i)/2)*(z + i)|==>|((1+i)/2)|*|z + 1|=|((1-i)/2|*|z + i| ==> |z + 1|=|z + i|

==> |z + 1|^2=|z + i|^2

Si l’on pose z=a+i*b alors

|z + 1|^2=(a+1)^2+b^2

|z + i|^2=a^2+(b+1)^2

==>a^2+2*a+1+b^2=a^2+b^2+1 ==> a=-b

Le lieu de M sont les droites d’équation y=x et y=-x

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|OM1| = |M1M2| ==> |z2|=|z1-z2|

z1-z2=((1+i)/2)*(z+1)-((1-i)/2)*(z+i)=i*z

|((1+i)/2)*(z+1)|=2*|i*z| ==> (1/ :sqrt:2)*|(z+1)|=|z| ==>|(z+1)|^2=2*|z|^2

Si l’on pose z=a+i*b alors

|z + 1|^2=(a+1)^2+b^2

|z|^2=a^2+b^2 ===>(a+1)^2+b^2=a^2+b^2 ==> 2*a+1=0 ==> a=-1/2

Le lieu de M est la droite d’équation x=-1/2 et les les deux points M pour lesquels OM1M2 est un triangle équilatéral sont les intersection de cette droite avec les droites d’équation t=-x et y=x soit les deux pont de coordonnées {-1/2,1/2} et {-1/2,-1/2}.

[Hima83]

Merci pour votre aide. J'ai du mal avec ces énoncés là, quand les données ne sont pas précises, par exemple ici on ne connait ni le module ni l'argument exacte de Z, donc j'ai des difficultés pour placer le point M :x Il faut prendre un point avec n'importe quel module et argument ? ( compris dans l'intervalle donné bien sûr)

[Barbidoux]

Merci pour votre aide. J'ai du mal avec ces énoncés là, quand les données ne sont pas précises, par exemple ici on ne connait ni le module ni l'argument exacte de Z, donc j'ai des difficultés pour placer le point M :x Il faut prendre un point avec n'importe quel module et argument ? ( compris dans l'intervalle donné bien sûr)