A L'aide Dm De Math

[Gabyy]

Bonjour, voila pour jeudi j'ai un dm de mathématiques à rendre il est super dur et j'ai casiment rien compris. Il y a un exercice sur les barycentres et d'autres sur des fonctions ou autres.J'ai vraiment besoin d'aide je suis perdu, le niveau du DM est très élevé alors que nous sommes en première S, même les plus fort de ma classe n'y arrive pas. S'il vous plait aidez moi merci d'avance.

[Barbidoux]

Solution de l'exo 1

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f(x)=x-1/(x-1)-1/(x-1)^2

Fonction définie sur R-{1}

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Lorsque x-> + 1/(x-1) et 1/(x-1)^2 ->0⁺ et f(x) x-> donc y(x)=x est asymptote du graphe de f(x) et le graphe de f(x) tend vers le graphe de y(x)=x par valeurs inférieures.

Lorsque x-> - 1/(x-1) et 1/(x-1)^2 ->0^- et f(x) x-> donc y(x)=x est asymptote du graphe de f(x) et le graphe de f(x) tend vers le graphe de y(x)=x par valeurs supérieures.

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Lorsque x->1⁺ ou x->1^- f(x) ->- et x=1 est un asymptote verticale de f(x)

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f’(x)=x*(x^2-3*x+4)/(x-1)^3

Le polynôme (x^2-3*x+4) est toujours du signe de x^2 qq soit x

........................................0....................1..................

.

x...........................(-).......(0)......(+)..................(+)

(x^2-3*x+4).........(+).................(+)..................(+)

(x-1)^3..................(-)..................(-)......(0).........(+)

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f’(x).......................(+).......(0).......(-)......||...........(+)

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f(x)......................crois.....max...decrois..||.......crois

f(x)=x^2*(x-2)/(x-1)^2 s’annule pour x=0 et x=2

équation des tangentes en 0 et 2

t(x)=f’(a)*x+f(a)-a*f’(a)

t1(x)=y=0

t2(x)=4*x-8

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Le point de C pour lequel la tangente est // à est tel que

f’(x)=x*(x^2-3*x+4)/(x-1)^3=1 ==> x=-1 et alors l’équation de T est

T(x)=f’(a)*x+f(a)-a*f’(a)

T(x)=x+1/4

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f(x)=x^2*(x-2)/(x-1)^2= x+m (avec x <>1)==> x^2*(x-2)=(x-1)^2*( x+m) ==> m*x^(2)-x*(2*m-1)+m=0 équation du second degré dont le déterminant vaut = (2*m-1)^2-4*m^2=1-4*m. Si m=1/4 alors =0 et il y une seule solution. Il y a deux solutions alors >0 soit m<1/4

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[Barbidoux]

La suite....

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Exo 2

f(x)= (x-x_i)^2

f’(x)= 2*(x-x_i)=n*x- x_i=n*(x- x_i/n)

on pose x_m= x_i/n

...................................x_m.................

f’(x)...........(-)................(0)...............(+)

f(x)........decrois............Min............crois

et f(x) passe par une valeur minimale pour x=x_m= x_i/n

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Exo 3

SO’=R-x

S’O’=R+x

Dans le triangle rectangle S’AS

AO’^2=S’O’*O’S=(x+R)*(x-R)

Surface de base du cône S(x)=Pi*AO’^2=Pi*(x+R)*(x-R)

Volume du cône =V(x)=S(x)*O’S/3=(R-x)*Pi*(x+R)*(x-R)=Pi*(x+R)*(x-R)^2

définie pour x {-R,R}

V’(x)=Pi*(3*R^2-2*R*x-R^2)

équation du second degré qui admet 2 racines x=-R/3 et x=R

.......................-R/3.....................R

f’(x)........(+)........(0)........(-)........(0)

f(x)........crois.....Max....decrois...Min

et le volume du cône est maximal pour =-R/3 et vaut V(-R/3)=32*Pi*R^3/27

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[Barbidoux]

Suite et fin.....

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Exo 4

h(x)=Sin(x)-x est définie sur [0, ]

h’(x)=Cos(x)-1 < 0 sur l’intervalle [0, ] c’est donc un fonction décroissante monotone sur l’intervalle et comme f(0)=0 on en déduit que h(x) <0 qq soit x sur [0, ]

g(x)=Cos(x)-1+(1/2)x^2

g’(x)=-Sin(x)+x =-h’(x) >0 sur l’intervalle ]0, ] c’est donc un fonction croissante monotone sur l’intervalle et comme lorsque x-> 0⁺ g(x)->0 par valeurs positive on en déduit que g(x) >0 qq soit x sur ]0, ]

f(x)=Sin(x)-x+x^3/6

f’(x)=Cos(x)-1+(1/2)x^2 >0 sur l’intervalle [0, ] c’est donc un fonction croissante monotone sur l’intervalle et comme f(0)=0 on en déduit que f(x) >0 qq soit x sur [0, ]

f(x)=Sin(x)-x+x^3/6 >=0==> Sin(x) x-x^3/6 et comme x>= Sin(x) (cf première question) ==>x>= Sin(x) x-x^3/6

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Exo 5

I est le barycentre de {A; 1}, {B; 1} et {C; 2} ==> IA+IB+2*IC=0

G est {A; m}, {B; m} et {C; 2*m} et {D, (m-2)^2} ==>

m*GA+m*GB+2*m*GC+(m-2)^2*GD=0

m*(GI+IA)+m*(GI+IB)+2*m*(GI+IC)+(m-2)^2*GD=0

4*m*GI+(m-2)^2*GD=0

4*m*(GD+DI)+(m-2)^2*GD=0

4*m*GD+4*m*DI+m^2*GD-4*m*GD+4* GD=0

4*m*DI+(m^2+4)*GD=0

4*m*DI=-(m^2+4)*GD=(m^2+4)*DG ==> DG=4*m/(m^2+4)

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f(x)=4*x/(x^2+4)

quand x-> - f(x) 4*x/x^2 -> O^-

quand x-> + f(x) 4*x/x^2 -> O⁺

f’(x)=-4*(x^2-4)/(x^2+4)^2

..........................(-2).........................(2)................

f’(x).......(-)..........(0)........(+).............(0).......(-).....

f(x)......decrois...min.....croiss...........max.......decrois

f(-2)=-1 et f(2)=1 ce qui veut dire que f(m) varie de -1 à 1 lorsque m varie de - à + et le lieu de G est le segment de droite DI puisque DG=f(m)*DI

Tout cela est à vérifier et à travailler bien sûr....

[Gabyy]

Merci infiniment bardiboux, ton aide m'a beaucoup aidé. Je crois avoir compris maintenant je vais développer tes explications et je suis sur que j'aurais une bonne note grâce à toi. Merci beaucoup vraiment tu m'as éclairé. Merci, heuresement que les sites et les gens comme toi existe, vous aidez les gens en difficultés alors sincèrement : félicitations !

[Gabyy]

BARBIDOUX plutôt, excuse moi pour la faute. Merci encore.