Dm - Aire Sous La Parabole

[arnaudrou]

Bonjour,

Qui peut m'aider à faire cet exercice ou je suis complètement perdu:

Le but est de calculer l'aire sous la parabole.

On a représenté la parabole de la fonction carrée notée f sur l'intervalle [0 ; 1]. Soit n un entier naturel supérieur à 1.

Soient les réels définis par k {0 ; 1 ; ... ; n}, x_k = k/n et les points

H_k (x_k ; 0); M_k(x_k; f(x_k)) ;Pk(x_k;f(x_k-1)); N_k(x_k;f(x_k+1)).

Sur la figure n = 5. De façon générale on note s_n la somme des aires des rectangles situés sous la parabole (exemple H₃H₄P₄M₃) et S_n celles des rectangles montant au dessus de la parabole (exemple H₃H₄M₄N₃).

1.Calculer s₅ et S₅. En déduire un encadrement de cette aire.

2.Montrer que s_n = 1/n³ k² et S_n= 1/n³ k²

3.Démontrer que les suites (s_n) et (S_n) sont adjacentes.

4.En déduire l'aire du domaine sous la parabole (en unité d'aire).

Meric d'avance pour votre aide

[Barbidoux]

1.Calculer s₅ et S₅. En déduire un encadrement de cette aire.

s₁=0/1²

s₂=1² /2²

s₃=(1² +2² )/2²

s₄=(1² +2² +3² )/2²

s₅=(1² +2² +3² +4² )/2² =0,240

s_n=(1² +2² +......+(n-1)² )/n²

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S₁=1² /1²

S₂=(1² +2² )/2²

S₃=(1² +2² +3² )/3²

S₄=(1² +2² +3² +4² )/4²

S₅=(1² +2² +3² +4² +5² )/5² =0,440

S_n=(1² +2² +......+n² )/n²

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3.Démontrer que les suites (sn) et (Sn) sont adjacentes.

s_n est une suite croissante S_n une suite décroissante

S_n-s_n=1/n et lorsque n-> lim(S_n-s_n)=lim S_n-lim s_n ->0 les suites S_n et s_n qui ont même limite, l'une étant croissante l'autre décroissante, sont adjacentes.

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4.En déduire l'aire du domaine sous la parabole (en unité d'aire).

On démontre que

(1² +2² +......+n² )=n*(n+1)*(2*n+2)/6= (2*n³+3*n² +n)/6 donc

lim S_n= (2*n³+3*n² +n)/(6*n³) -> vers 2*n³+(6*n³)=1/3 et l’aire du domaine dessosu la parabole tend vers 1/3.

On retrouve ce résultat en remarquant que la primitive dérivée f(x)=x³/3 de la fonction x³ représente l’aire sous la courbe d’équation x^2 et cette aire vaut f(1)-f(0) entre les abscisses 1 et 0 soit 1/3 ce qui est la cas de la figure étudiée.

[arnaudrou]

merci Barbidoux pour ton aide très précieuse, juste quelques questions, je ne comprends pas la question 2) et ce que tuu fais pour trouver l'air dans la question 4).

Pour l'encadrement dans la 1) ca donne s₅<A<S_5??

[Barbidoux]

J'ai regroupé les questions 1 et 2 en montrant comment on calcule s₁, s₂ .....s_n puis S₁, S₂..... S_n. Au passage j'ai calculé s₅ et S₅ pour trouver l'encadrement de l'aire sous la courbe x² entre 0 et 1.

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Dans la 4 je calcule 1²+2²+3²....n²=n*(n+1)*(2*n+1)= (2*n³+3*n² +n)/6 tu as du voir cela en cours sinon tu peux trouver la démonstration en recherchant sur Google "aire sous une parabole". Alors tu peux écrire S_n sous la forme S_n =(2*n³+3*n² +n)/(6*n³). Lorsque n-> S_n =(2*n³+3*n² +n)/(6*n³) tend vers le rapport des termes de plus haut degré soit S_n-> 2*n³/(6*n³)=1/3 qui est l'aire sous le graphe de x² entre 0 et 1.

[arnaudrou]

Merci beaucoup Barbidoux pour tes réponses, par contre pour la 3) tu n'a fais que conjecturer à partir des premiers termes, ne penses-tu pas qu'ici qu'il faut le démontrer??

[Barbidoux]

Merci beaucoup Barbidoux pour tes réponses, par contre pour la 3) tu n'a fais que conjecturer à partir des premiers termes, ne penses-tu pas qu'ici qu'il faut le démontrer??

[arnaudrou]

ok merci Barbidoux, si tu peux jeter un coup d'oeil à mon autres post je serai ravie /board/index.php?showtopic=17343">/board/index.php?showtopic=17343">/board/index.php?showtopic=17343">/board/index.php?showtopic=17343">/board/index.php?showtopic=17343">/board/index.php?showtopic=17343">http://www.e-bahut.com/board/index.php?showtopic=17343