Devoir Maison De Mathématiques Sur Centre D'inertie

[Linux42120]

Bonjour,

je suis actuellement en train de faire un devoir Maison de Mathématique pour Vendredi prochain, c'est à dire, pour le 18/01/2008.

Seulement voilà, je bloque sur un exercice dès le départ et sur le deuxième exo, je pense que j'y suis arrivé, mais j'aurais besoin que vous me disiez si c'est bon ou pas ?

Je vous remercie d'avance, voici les énoncés et mes réponses (pour l'instant, je met que celui que je n'arrive pas parce que la j'ai pas trop le temps de rédiger tout ce que j'ai marqué pour l'exercice1 mais je le mettrai surement demain):

Exercice 1: Centre d'inertie (3) --> je bloque du départ:

L'énoncé:

On considére une plaque homogéne P qui est un disque de centre O et de rayon R. A partir de cette plaque P, on fabrique une nouvelle plaque P' en évidant la Plaque P, comme l'indique la figure ci-dessous, d'un disque de rayon R/4 et de centre O'.

on appelle G le centre d'inertie de la plaque P'

Les questions:

1)a) Exprimer O comme un barycentre de G et O'

b ) En déduire la position du point G.

2) On note m ma masse de la plaque P'.

Quelle masse doit on placer au point A pour que l'ensemble constitué par la plaque P' et le point A ait O pour centre d'inertie ?

Merci d'avance pour votre aide précieuse.

[Barbidoux]

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O est le barcentre des points G et O’ affectés des masses m et m’.

Relations vectorielles

m*OG+m’*OO’=0 ==> m*OG/m’ =O’O

La masse m’ du petit disque homogène vaut m=rho*e*Pi*(R/4)² où rho est sa mase volumique et R son diamètre, celle du grand vaut m=M-m’ =rho*e*Pi*R² -rho*e*Pi*(R/4)² d’où

m/m’= 15 ==> 15*OG=O’O or ||O’O||=3/4*R ==>||OG||=R/20

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On écrit que O est le barycentre des points G et A affectés des masses m et a :

m*OG+a*OA=0 ==> OG/AO=a/m = R/20/R=1/20 ==> a=m/20

A vérifier........

[Linux42120]

Ok, merci Barbidoux, je vais verifier tout sa mais merci beaucoup.

bon ben maintenant, je vais mettre mes réponses à l'exercice 2:

L'énoncé et la question:

Mes réponses:

Figure 1:

Nous pouvons déomposer cette plaque en deux plaques homogéne P1 et P2 comme ci-dessous.

.Décompostion de la figure 1 en deux plaques homogènes:

Ainsi, comme il est dit dans le texte, le centre d'inertie G de ces deux plaques homogènes est le barycentre du systéme {(G1;m1),(G2;m2)} où G1 et G2 sont les centres d'inertie respectif de P1 et P2 et où m1 et m2 sont les masses respectifs de P1 et P2.

Or, d'après le texte, comme les plaques sont homogènes, leurs masses est proportionnelle à leurs aires et donc le centre d'inertie G est aussi le barycentre du systeme {(G1;A1),(G2;A2)}

où A1 et A2 sont les aires respectifs de P1 et P2.

.Etude de P

1

et P

2

.

Nous avons donc:

Pour P1:

Comme P1 est un rectangle, alors son aire se calcule par la formule l*L où l est sa longueur et L sa largueur. Ainsi, l'aire de P1 est égale à l*L = 3*1 = 3.

De plus, comme P1 est un rectangle, il posséde un centre de symétrie qui est le point en lequel se coupent ses diagonales. Or, il est dit dans le texte que le centre d'inertie d'une plaque qui posséde un centre de symétrie est ce point. Ainsi, le centre d'inertie G1 de P1 est son centre de symétrie.

Pour P2:

D'après la figure 1, P1 = P2 car ils sont composés tous deux de trois carreaux et en outre, P2 est aussi un rectangle. Ainsi, l'aire de P2 est égale à l*L = 1*3 = 3.

En outre, comme P2 est un rectangle alors il posséde un centre de symétrie et d'après le texte, ce centre est son centre d'inertie.

.Conclusion

Ainsi, le centre d'inertie G est le barycentre du système {(G1;3),(G2;3)} où G1 et G2 sont les centre d'inertie respectifs de P1 et P2. et il est ainsi situé:

3GG1 + 3GG2 = 0

< => 3GG1 + 3GG1 + 3G1G2 = 0

< => 6GG1 = 3G1G2

< => G1G = 1/2G1G2

Nous avons donc la figure suivante:

Figure 2:

Nous pouvons déomposer cette plaque en trois plaques homogéne P1, P2 et P3 comme ci-dessous.

.Décompostion de la figure 2 en trois plaques homogènes:

Comme il est dit dans le texte, le centre d'inertie G de deux plaques homogènes est le barycentre du systéme {(G1;m1),(G2;m2)} où G1 et G2 sont les centres d'inertie respectifs de P1 et P2 et où m1 et m2 sont les masses respectifs de P1 et P2. Nous pouvons donc relativiser cette loi, et dire la même chose si une plaque se décompose en trois plaques homogènes ce qui donne: le centre d'inertie G de trois plaques homogènes est le barycentre du systéme {(G1;m1),(G2;m2),(G3;m3)} où G1,G2 et G3 sont les centres d'inertie respectifs de P1 et P2 et P3 et où m1, m2 et m3s ont les masses respectifs de P1, P2 et P3.

Or, d'après le texte, comme les plaques sont homogènes, leurs masses est proportionnelle à leurs aires et donc le centre d'inertie G est aussi le barycentre du systeme {(G1;A1),(G2;A2),(G3;A3)} où A1, A2 et A3 sont les aires respectifs de P1, P2 et P3.

.Etude de P

1

,P

2

et P

3

.

Nous avons donc:

Pour P1:

Comme dit dans la première figure, P1 est un rectangle et donc son aire se calcule par la formule l*L où l est sa longueur et L sa largueur. Ainsi, l'aire de P1 est égale à l*L = 2*3 = 6.

De plus, comme P1 est un rectangle, il posséde donc un centre de symétrie qui est le point en lequel se coupent ses diagonales. Or, d'après le texte le centre d'inertie d'une plaque qui posséde un centre de symétrie est ce point. Ainsi, le centre d'inertie G1 de P1 est son centre de symétrie.

Pour P2:

P2, lui aussi, est un rectangle. Il posséde donc un centre de symétrie qui est le point el lequel se coupent ces diagonales. Or, d'après le texte le centre d'inertie d'une plaque qui posséde un centre de symétrie est ce point. Ainsi, le centre d'inertie G2 de P2 est son centre de symétrie.

De plus, come c'est un rectangle, son aire se calcule par la formule l*L = 2*1 = 2.

Pour P3:

Enfin, P3 est à son tour un rectangle est donc son centre d'inertie est son centre de symétrie, c'est à dire le point en lequel se coupent ces diagonales.

Son aire se calcule donc par la formule l*L où l est sa longueur et L sa largueur. Ainsi, l'aire de P3 est égale à l*L = 1*3 = 3.

.Conclusion:

Ainsi, le centre d'inertie G de la figure 2 est le barycentre du système {(G1;6),(G2;2),(G3;3)} où G1,G2 et G3 sont les centres d'inertie respectifs de P1, P2 et P3. et il est ainsi situé:

6GG1 + 2GG2 + 3GG3 = 0

< => 6GG1 + 2GG1 + 2G1G2 + 3GG1 + 3G1G3 = 0

< => 11GG1 = 2G2G1 + 3G1G3

< => G1G = 2/11G1G2 + 3/11G1G3

Nous avons donc la figure suivante:

Je mettrai surement les deux autre figures plus tard parce que là, il faut que j'aille faire d'autre devoirs. Mais dites moi déjà si c'est juste et si oui, je n'ai riend oublié.

Merci d'avance

[Barbidoux]

Constructions géométriques des différents centre de gravité

[Linux42120]

Merci beaucoup, je vais regarder tout sa mais j'aurais surement des questions. Merci beaucoup

[Linux42120]

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O est le barcentre des points G et O' affectés des masses m et m'.

Relations vectorielles

m*OG+m'*OO'=0 ==> m*OG/m' =O'O

La masse m' du petit disque homogène vaut m=rho*e*Pi*(R/4)² où rho est sa mase volumique et R son diamètre, celle du grand vaut m=M-m' =rho*e*Pi*R² -rho*e*Pi*(R/4)² d'où

m/m'= 15 ==> 15*OG=O'O or ||O'O||=3/4*R ==>||OG||=R/20

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On écrit que O est le barycentre des points G et A affectés des masses m et a :

m*OG+a*OA=0 ==> OG/AO=a/m = R/20/R=1/20 ==> a=m/20

A vérifier........

[Barbidoux]

Alors voilà:

je comprends très bien pourquoi m*OG+m'*OO'=0 ==> m*OG/m' =O'O.

Par contre, après, je ne comprends pas pourquoi tu calcule la ma du petit disque homogène et je comprends pas aussi la formule que tu utilise? Est ce que tu pourrai mieux détailler le calcul s'il te plaît ?

Merci d'avance.

[Linux42120]

Ok merci beaucoup pour cette aide précieuse, j'ai bien compris.

Merci encore.

A bientôt