Méthode De Cardan

[arnaudrou]

Bonjour

Qui peut m'aider dans mon DM ou je ne comprends vraiment pas grand chose.

Méthode de Cardan

1.On considère une équation de degré 3 par rapport à la variable réelle x. Montrer que l'on peut ramener à l'équation x³+ ax² + bx+ c = 0 ou a,b et c sont trois réels que l'on précisera en fonction des coefficients de l'équation initiale.

2.Etablir que l'on peut trouver un réel tel que en posant x= X + cette dernière équation conduise à X³+pX+ q = 0 ou les réels p et q seront exprimés en fonction de a,b,c et .

3.Transformer l'équation X³+pX+ q = 0 en posant X=u+v et prouver que l'on peut choisir le produit u v afin que cette équation aboutisse à u³+v³=-q

Former alors l'équation du second degré dont les solutions sont u³ et v³.

En déduire que si (q/2)² + (p/3)³ > 0 alors X= u + v = ( -q/2 + ((q/2)²+(p/3)³))^1/3 + (-q/2 + ((q/2)²+ (p/3)³))^1/3

est une solution particulière de l'équation X³+pX+ q = 0

4.a) Utiliser la méthode de Cardan pour trouver une solution particulière x³+6x²+10x + 8 = 0

b)Que pensez vous de sa méthode pour l'équation x³-15x-4=0 ? Expliquer.

Merci d'avance

[Barbidoux]

1.On considère une équation de degré 3 par rapport à la variable réelle x.

a₁*x³+ a₂*x² + a₃*x+ a₄ = 0

en divisant l'équation par a₁ on la ramène à

x³+ a*x² +b*x+ c = 0

--------------------------------------------------

en posant x=X+ on obtient :

X³+(a+3 )*X²+(3 ²+2*a*+b )*X+(³+a*²+b* +c)=0

en posant =a/3 on élimine le terme en X^2 et l'on obtient une expression de type

X³+p*X+q=0

dans laquelle

p=(b-a²/3)

q=c+2*a³/27-a*b/3

--------------------------------

En posant X=u+v

on obtient

q + p u + u³ + p v + 3 u² v + 3 u v² + v³ =0

et si p u + p v + 3 u² v + 3 u v²=0 soit :

(u+v)*(p+3*u*v)=0 ==>u*v=-p/3 ==>v=-p/(3*u)

alors

q + u³ + v³ =0

----------------------------------------

Des relations S= u³ + v³=-q et u*v=-p/3 ==>P= u³*v³=-q³/27 on en déduit que u³ et v³ sont les racines de l'équation du second degré :

x²-S*x+P=0 soit x²+q*x-q³/27=0

qui admet deux racine lorsque son discriminant =q²+4*q³/27>0

Je te laisse faire la suite qui ne devrait pas te poser de problème....

[arnaudrou]

Bonjour,

merci Barbidoux de m'aider, cependant j'ai pas vraiment encore tout compris...

Alors pour la question 1) lorsque que tu fais " a₁*x³+ a₂*x² + a₃*x+ a₄ = 0 " qu'es que que a_1, a_2, a_3, a_4... pourquoi a₃/a_{1 =} b ..

pour la question 2) j'ai beau refaire le calcul je trouve quelque chose d'un peu différent, je te montres:

(X+)³+a(X+)²+b(X+)+c = 0

X³+3X²+3X²+³+a(X+)²+b(X+)+c = 0

X³+3X²+3X²+²+aX²+2aX+²+bX+b+c = 0

X³+(3+a)X²+(3²+2a+B)X+(³+²+b+c) = 0

Comme tu peux voir il y une petite différence dans le 3eme membre tu trouves a² et moi ²...

Après je ne comprends pas ce que tu fais, surtout quand tu dis "en posant =a/3 on élimine le terme en X^2"

Pour la 3, je suis d'accord quand tu trouves "q + p u + u³ + p v + 3 u² v + 3 u v² + v³ =0" mais c'est ensuite quand tu mets "et si p u + p v + 3 u² v + 3 u v²=0 " ou sont parties q et u³ et v³ ??

Merci d'avance

[arnaudrou]

up

[Barbidoux]

cependant j'ai pas vraiment encore tout compris...

Alors pour la question 1) lorsque que tu fais " a₁*x³+ a₂*x² + a₃*x+ a₄ = 0 " qu'es que que a_1, a_2, a_3, a_4... pourquoi a₃/a_{1 =} b ..

[arnaudrou]

Merci beaucoup Barbidoux de ton aide, une dernière question, je ne trouve pas ce qui est demandé dans la 4)b)Que pensez vous de sa méthode pour l'équation x³-15x-4=0 ? Expliquer.

[arnaudrou]

au faite pour info je trouve -4 comme racine a la 4)a)

par contre la 4)B) je comprends tojours pas ce qu'il demande...

[Barbidoux]

au faite pour info je trouve -4 comme racine a la 4)a)

par contre la 4)B) je comprends tojours pas ce qu'il demande...

[arnaudrou]

Merci beaucoup