Dm Fonction Expotentielle

[LOLODU14700]

bonjour a tous,

pouvez vous m'aider, je coince au niveau du 2 cout total

voici le sujet complet

exercice 1

une entreprise fabrique un produit chimique liquide. les coûts seront exprimée en milliers d'euros et les quantités en tonnes

1 cout marginal

on a observé que le coût marginal pour une production de x tonnes est donné pour x réel dans l'intervalle [0,40] par la fonction h définie par : h(x) = 1,5 e0,05x

a étudier les variations de h.

b calculer h(0) ; h(20) ; h(30); h(40).

c représenter la fonction h sur l'intervalle [0,40].

on prendra comme unités 1 cm pour 4 tonnes en abscisse, 1 cm pour 1 miller d'euros en ordonnée.

d trouver la primitive de h sur l'intervalle [0,40] qui vaut 30 en 0.

2 cout total

on note f(x) le cout total pour une production de x tonne ( 0 x 40 ). les couts fixes s'élèvent à 30 milliers d'euros ( c'est à dire f(0) = 30). on rappelle que f'(x) = h(x).

a montrer que f(x) = 30e0,05x

b calculer f(x+1)/f(x) et vérifier que ce nombre est constant.

c de quel pourcentage le cout total augmente-t-il quand la production augmente d'une tonne ?

3 COUT MOYEN

le cout moyen unitaire est défini sur l'intervalle ]0;40] par g(x) = f(x)/x

a quel est le cout moyen unitaire d'une tonne, quand l'usine en produit 40 ? ( on donnera la réponse arrondie à l'euro).

b démontrer que g'(x) = 3(x-20)e0,05x/2x2

c étudier le signe la fonction g' sur l'intervalle ]0;40]. dresser le tableau de variation de g.

d déterminer lim g(x) quand x tant vers 0 et x > 0. Préciser les asymptotes éventuelles pour la courbe représentative de g.

e tracer la courbe représentative de g sur le graphique précédent.

f vérifier sur cet exemple que lorsque le cout moyen est minimal, il est égal au cout marginal.

exercice 2

soit la fonction f définie sur [0;1] par f(x) = x2/4-x2.

1 démontrer que pour tout x de [0;1] on a : -1+ 1/(2-x)+1/(2+x)

2 en déduire une primitive F de f sur [0;1].

3 déterminer la primitive de f sur [0;1] qui s'annule en 1.

aider moi il m'energe se devoir

merci d'avance pour votre aide

[Barbidoux]

exercice 1

1 cout marginal

on a observé que le coût marginal pour une production de x tonnes est donné pour x réel dans l'intervalle [0,40] par la fonction h définie par : h(x) = 1,5*e^0,05x

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h’(x)=0,075*e^0,05x>0 quelque soit x, fonction monotone croissante

h(0)=1,5

h(20)=4,07742

h(30)=6,72253

h(40)=11,0836

c représenter la fonction h sur l'intervalle [0,40].

La primitive de h sur l'intervalle [0,40] s’écrit

f(x)=1,5*e^0,05x/0,05+cst=30*e^0,05x+cst

elle vaut 30 en 0.

f(0)=30=30+cst ==> cst=0 et f(x)=30*e^0,05x

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2 cout total

b f(x+1)/f(x)=e^0,05(x+1)/e^0,05x=e^0,05=1,0513

c quand la production augmente d'une tonne la variation du coût total a pour expression [f(x+1)-f(x)]/f(x)=f(x+1)/f(x)-1=0,0513=5,13%

3 COUT MOYEN

le cout moyen unitaire est défini sur l'intervalle ]0;40] par g(x) = f(x)/x

a cout moyen unitaire d'une tonne, quand l'usine en produit 40

g(x)=f(40)/40= 5,54179 milliers d’euros soit 5542 euros

g’(x)=30*0,05*e^0,05x/x-30*e^0,05x/x²

g’(x)=1,5*e^0,05x/x-30*e^0,05x/x²

g’(x)=(1,5*x*e^0,05x-30*e^0,05x)/x²

g’(x)=3*(x*-20)*e^0,05x)/(2*x²)

x................................20.......................

(x*-20).......(-).............0..................(+)

g’(x)............(-)............(0)................(+)

g(x)...decroissante............croissante....

d lim g(x)=1/0⁺-> quand x -> 0 et x > 0.

Lorsque x -> 0 alors e^0,05x =1+0,05*x et limite f(x)/x =30/x+1,5 et la droite d’équation x=1,5 est l’assymptote de f(x)/x

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exercice 2

Attention aux notation x²/4-x² n’est pax égal à x²/(4-x²)

soit la fonction f définie sur [0;1] par f(x) = x2/4-x2.

1 démontrer que pour tout x de [0;1] on a :

-1+ 1/(2-x)+1/(2+x)=-1+[2+x+2-x]/(4-x²)=x²/(4-x²)

2 primitive F de f sur [0;1]

F(x)=-x-ln(2-x)+ln(2+x)+cst

3 déterminer la primitive de f sur [0;1] qui s'annule en 1.

F(1)=0=-1-ln(1)+ln(3)+cst=0 ==>cst =1-ln(3)

F(x)=-x-ln(2-x)+ln(2+x)+1-ln(3)

F(x)=ln[(2+x)/(3*(2-x))]-x

A vérifier....