Produit Scalaire

[chachoune]

Bonjour, j'ai un Dm de maths à faire pour la rentrer et j'ai besoin d'aide SVP.

Voila le sujet:

ABCD est un rectangle tel que AD=3 et AB=5. Het K sont les projetés orthogonaux respectifs de B et D sur la diagonale (AC).

Première question:

a) Calculer le produit scalaire AC.DB

B) En déduire la longueur HK.

Deuxième question:

Peut-on trouver un rectangle tel que HK= 1/2 AC?

Merci d'avance

[Barbidoux]

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Rectangle de côté a=5 cm et b=3 cm

Evaluation de AC : dans le triangle ADC

AC²=AD²+DC²=a²+b² ==> AC=(a²+b²)=(34)

I est le point de concours des médianes ==> IA=IC=IB=ID=AC/2=(17/2)

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Evaluation de l’angle AID :

dans le triangle ADC

AI+ID=AD ==> (AI+ID)²=AD²

soit :

AI²+ID²+2*||AI||.||ID||*cos(AI,ID)=AD²

comme AI=ID

2*AI²+2*AI²*cos(AI,ID)=AD²

cos(AI,ID)=cos( -AID)=-cos(AID)

cos(AID)=1-AD²/(2*AI²)=1-9/17=8/17

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AC.DB=||AC||*||DB||*cos(BIC)=||AC||²*cos(AID)=34*8/17=16

et comme KH=||DB||*cos(BIC) ==>KH=16/ (34)

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Pour trouver un rectangle tel que HK= 1/2 AC il faut que le triangle AID soit équilatéral c’est-à-dire que AD²+DC²=AC²=4*AD²

soit :

DC=AD*:sqrt:3