Périodicité

[kavi]

Bonjour, est ce que vous pouvez m'aider pour cet exo, svp?

Soit f la fonction définie sur R par: f(x)= cosx- cos²x. Cf est la représentation graphique ds un repère orthogonal.

1) Etudier la parité de la fonction f.

2) Etudier la périodicité de la fonction f.

3) Expliquer en quoi l'étude de f sur [0;] permet d'obtenir l'étude de f sur R.

4) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation sur [0;pi].

5) Tracer la représentation graphique de f sur [0;pi] en plaçant les points de Cf d'abscisse 0; pi/3 ; pi/2 ; pi et en indiquant les nombres dérivés respectifs.

6) En déduire le tracé sur [-3pi;3pi].

mes réponses:

1) f(-x)= cos(-x)- cos² (-x) = -cos(x)+cos²(x)= -f(x) donc la fonction est impaire.

2) f(x + 2pi) = cos (x + 2pi) - cos(x + 2pi)^2

= cos(x) - cos²(x) donc f(x + 2pi)= f(x) donc f est périodique de période 2pi.3) On peut étudier f sur un intervalle de longueur 2pi, par exemple [-pi,pi].

mais aprés je ne sais pas.<A name=msg1529239>4) Vu que la fonction est périodique elle est croissante puis décroissante puis croissante ainsi de suite.. Comment est ce que je fait? si je fait juste sur l'intervalle [0;pi] alors la fonction est décroissante puis croissante.

Merci pour votre aide .

[Barbidoux]

1) Etudier la parité de la fonction f.

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cos(-x)=cos(x)==>f(-x)=cos(-x)-cos²(-x)=cos(x)-cos²(x)

Fonction paire, graphe f(x) symétrique par rapport à l’axe oy

2) Etudier la périodicité de la fonction f.

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cos(x) à pour période 2* a fonction f est périodique de période 2*

3) Expliquer en quoi l'étude de f sur [0; ] permet d'obtenir l'étude de f sur R.

La fonction f(x+) est paire donc f(x) est symétrique par rapport à la droite d’équation x=. Il suffit donc d’étudier f(x) de période 2* sur [0; ] pour obtenir l'étude de f sur R.

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4) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation sur [0; ].

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f’(x)=-sin(x)+2*cos(x)*sin(x)=sin(x)*(2*cos(x)-1)

x......................0.............:pi:/3.................:pi:/2.................

sin(x)................0....(+)...............(+)............(1)......(+).....0..

2*cos(x)-1..............(+).......0.......(-)...........(-1)......(-)......

f’(x)................0.....(-).......(0)......(-)...........(-1).......(-)....(0)

5) Tracer la représentation graphique de f sur [0;pi] en plaçant les points de Cf d'abscisse 0; /3 ; /2 ; et en indiquant les nombres dérivés respectifs.

6) En déduire le tracé sur [-3 ;3 ].

[kavi]

[Barbidoux]

Il y a certains points que je ne comprend pas:

- pourquoi cos(x) = cos(-x)

[kavi]

Merci, j'ai encore 2 dernière questions à vous poser:

1) Comment vous faites pour voir que 2cos(x)-1, en /2 sa fait -1 et en , sa fait quoi?

2) est ce que c'est bon:

_ f '(0) = sin(0)*(2cos(0)-1) = 0 * 1-1 = 0

_ f'( /3) = sin ( /3)*(2cos( /3)-1) = 3/2*(2*0.5-1) = 0

_ f'( /2) = sin ( /2)*(2cos( /2)-1) = 1*(2*0-1) = -1

_ f'( ) = sin ( )*(2cos( )-1) = 0*(2*-1-1) = 0, je doit les placer sur le graphe?

[Barbidoux]

1) Comment vous faites pour voir que 2cos(x)-1, en /2 sa fait -1 et en , sa fait quoi?

[kavi]

Oui. On te demande :

5) Tracer la représentation graphique de f sur [0;pi] en plaçant les points de Cf d'abscisse 0; pi/3 ; pi/2 ; pi et en indiquant les nombres dérivés respectifs. alors tu le fais ....

[Barbidoux]

Oui. On te demande :

5) Tracer la représentation graphique de f sur [0;pi] en plaçant les points de Cf d'abscisse 0; pi/3 ; pi/2 ; pi et en indiquant les nombres dérivés respectifs. alors tu le fais ....

Je suis désolé de vous redéranger, comment est ce qu'on fait pour placer un nombre dérivé sur un graphe? (les dérivée sont des coefficients directeurs non?)

merci.

[kavi]

Ok, merci .