Tangente, Sécante Et Lieu Geometique

[all-sar]

bonjoursje voudrai svp que vs m'aidiez à résoudre cet exo ci-dessous.j'ai fait la question 1 mais les autres questions j'ai pas reussi.

voici l'exo:

Dans un repère (O,i,j), on note C la courbe représentative de la fonction

f: x (1/4) x² et F de coordonnées (0;1). une droite d de coeff direct m passe par F et coupe C en M1 et M2. Les tangents à C en M1 et M2 se coupent en I.

1- Après avoir tracé C et qq droites d quelconques passant par F, il semble que la droite d coupe toujours C en deux points distincts M1 et M2.

De plus, il semble que les points I soient alignés, c'est à dire qu'ils soient sur une droite fixe.

Les coordonnées de I dépendent des abscisses de M1 et M2, que nous noterons x1 et x2. Pour trouver x1 et x2, il faut trouver d'abord une équation de d.

a) Vérifier que d a pour équation y= mx+1

B) Vérifiez que x1 et x2 ( s'ils existent) sont solutions de l'équation x²-4mx-4=0

Prouvez que cette équation a toujours deux solutions distinctes x1 et x2 pour tout réel m.

2- Pour prouver le lieu C de I, la piste analytique s'impose.

Il faut donc trouver en foction de x1 et x2, les coordonnées de I. Pour cela on est amené à chercher les coordonées du point d'intersection (s'il existe) de deux droites: les tangentes en M1 et M2 à C.

a) Trouvez, en fonction de x1, une équation de la tagente en M1, à C et, en fonction de x2, une équation de la tangente en M2 à C.

B) Pourquoi ces droites sont-elles sécantes?

c) Déduisez en que I a pour coordonnées: ( (x1 + x2)/2 ; ( x1x2)/4 )

d) Trouvez alors que les coordonnées de I en fonction de m et déduisez en que I est un point de la droite d d'équation y= -1

3- on vient de prouver que si I est un point de C, alors I est un point de d, donc C est inclu dans d. Il reste à répondre à la question suivante:

Si I est un point de d, est-il un point de C?

Prouvez que la réponse est oui et concluez.

4-Rédigez une solution.

merci pour votre aide

[Barbidoux]

[La droite de coefficient directeur m à pour équation générale y(x)=m*x+b elle passe par le point {0,1} d’où f(0)=1=b ==> y(x)=m*x+1

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Cette droite coupe le graphe de f(x)=x ²/4 aux point M1 et M2 dont les abscisses vérifient l’équation f(x)=y(x) soit x ²/4 =m*x+1 ==> x ²-4*m*x-4=0. Cette équation est une équation du second degré d’expression générale a*x ²+b*x+c=0 qui admet toujours deux racines distinctes lorsque a et c sont de signes contraires. Dans ce cas ces deux racines sont x₁=2*(-m+(m+1)) et x₂=2*(-m-(m+1)).

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L’équation de la tangente au graphe de f(x) au point M1 d’abscisse x₁ a coefficient directeur f’(x₁)=x₁/2. Son expression générale est g1(x)=(x₁/2)*x+c₁. Elle passe par le point {x₁, f(x₁)} et c1=-x₁²/4. son équation est donc g1(x)=(x₁/2)*x-x₁²/4.

Par un raisonnement identique on montrerait que l’équation de la tangente au graphe de f(x) au point M2 d’abscisse x₂ s’écrit g2(x)=(x₂/2)*x-x₂²/4.

Ces droites ayant des coefficient directeurs différent se coupent u point d’abscisse x tel que g1(x₀)=g2(x₀) ==>x₀= (x₁+x₂)/2 et d’ordonnée g1(x₀)=x₁*x₂/4

En remplaçant x₁ et x₂ par leur valeur en fonction de m on obtient x₀=2*m et y=-1 ce qui montre que le lieu de I est la droite y=-1.

De manière réciproque on peut toujours choisir deux points de la droite d’abscisse x₁ et x₂ tels que leur produit soit égal à -1/4 et leur somme égale 4*m où m est un réel. Ces points sont alors solution de l’équation (x-x₁)*(x-x₂)= x²-(x₁+x₂)*x+x₁*x₂=0 soit x2-4*m*x-4=0. On peut alors montrer qu’il est possible, à partir de ces points, de faire passer deux tangentes au graphe de f(x)=x²/4. Ces deux point appartenant à la droite d’équation y=m*x+1 qui passe par le point de coordonnées {0,1}. Donc le lieu de I est bien l’intégralité de la droite y=-1.

[all-sar]

bonjours,

merci vraiment pr votre aide ça m'a bcp aidé.