[dm] Un Trajet De Durée Minimale

[arnaudrou]

<h3 style="margin: 0px;">Bonjour,

Qui peut m'aider dans mon DM, je ne vois pas du tout comment faire.

énoncé:

Pour des raisons encore obscures, le gardien d'un phare (point A) doit rejoindre le plus rapidement possible la maison côtière (point B). Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pied à la vitesse de 5 km/h. La droite (HB) représente la côte. Sachant que HB = 15 km et HA = 9 km, où doit il accoster (point M) pour que le temps de parcours soit minimal ?

1.On pose x = HM. Montrer que le problème revient à déterminer le minimum sur l'intervalle I = [0 , 15] de la fonction f définie par f(x)=1/4(x²+81) + 1/5(15 —x).

2.Etudier les variations de f sur I et dresser son tableau de variation.

3.Répondre à la question posée en précisant le temps de parcours correspondant.

Merci D'avance pour votre aide!</h3>

[Barbidoux]

Le gardien de phare parcourt le trajet AM à la vitesse v1 et MB à ma vitesse v2 temps f(x) mis par le gardien de phare vaut :

f(x)= AM /v1+BM/v2

or AM^2=AH²+HM²=81+x et MB=HB-HM=15-x et v1=4 km/h et v2= 5 km/h d’où

f(x)=(x^2+81)/4+(15-x)/5

Cette fonction définie sur l’intervalle [0, 15] est toujours positive, sa dérivée : 2*x/[8*(x^2+81)] est aussi positive sur cet intervalle et la fonction est donc uniformément croissante sur cet intervalle. Le temps minimal est obtenu pour x=0 et vaut tmin=9/4+5=29/4 =7 h +1/4 h soit 7 h et 15 minutes.

A vérifier....

[arnaudrou]

Merci Barbidoux pour ta réponse, cependant je pense qu'il y a une erreur mais je ne ttrouve pas pour autant la bonne réponse:

Pour que le temps de parcours, soit minimum, il faut que le gardien du phare accoste, au point M, tel que HM= x= 12 km de la côte et par conséquent, à 3 km de sa maison côtière, située au point B.

tu trouves 7 h et 15 minutes, or dans ma classe plusieur trouves vers les 4h ??