jajajajaja Posté(e) le 22 février 2018 Signaler Share Posté(e) le 22 février 2018 bonjour ; j'ai du mal avec cet exercice pouvez-vous m'aider s'il vous plait ? Partie I 1.Montrer que pour tout u>-1, ln(1+u) u. (*)(on pourra étudier une fonction) 2.Monter que si x > -1 alors x/(1+x) > -1. 3.En appliquant l’inégalité (*) à u=-x/(1+x) , monter que pour tout x> -1, ln(1+x) x/(x+1). (**) 4.Déduire des inégalités (*) et (**) que pout tout entier naturel k non nul, 1/(k+1) ln(k+1)-ln(k) 1/k. Partie II Soit (un) définie pour tout entier naturel n non nul par: un= 1/n+1 +1/n+2 + … +1/2n = 1/n+k 1.En appliquant l’inégalité de la partie I à k=n+1,…, n+(n+1), 2n, monter que: un+ 1/2n+1 - 1/n+1 ln(2n+1) -ln(n+1)<=un. 2. En déduire que pour tout entier naturel n : ln(2n+1/n+1) un ln(2n+1/n+1) + n/(n+1)(2n+1). 3. En déduire lim un (n—> +inf). Partie III On admet que la suite (un) est croissante. 1.Justifier l’existence d’un rang n0 à partir duquel : ln2 - 0,01 un ln2. 2.On cherche le plus petit entier naturel n0 tel que pour tout n>=n0, ln2 - 0,01 un ln2 a) pourquoi suffit-il de chercher le plus petit entier n1 tel que, ln2 - 0,01 un1 ln2 ? b) on a implémenté l’algorithme suivant. Compléter les deux instructions incomplètes: (1) La condition d’arret de la boucle « tant que » ; (2) La formule permettant de définir la somme correspondant à (un). merci d'avance !! Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 22 février 2018 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 22 février 2018 Partie 1 1------------- soit la jonction f(u)=u-ln(u+1) définie sur ]-1 ∞[ sa dérivée f'(u)=1-1/(u+1) est positive sur l'intervalle de définition de la fonction et la fonction f(u) est croissante. Comme f(0)=0 on en déduit que f(u) ≥0 sur son intervalle de définition ce qui signifie que u-ln(u+1)≥ 0 ==> ln(u+1) ≤ u pour tout u>-1 2------------- on pose u=x avec x>-1 0>-1 -x≥-x -x≥-x-1 ==> -x≥-(x+1) x>-1 ==> 1+x >0 et -x/(1+x)≥-1 3------------- on pose u=-x/(x+1) u-ln(u+1)≥0 ==> -x/(x+1)-ln(-x/(x+1)+1)≥0 ==> -ln(1/(x+1))≥x/(x+1) ==> ln(x+1)≥x/(x+1) 4------------- ln(u+1) ≤ u on pose u=1/k ==> ln(1/k+1) ≤ 1/k ==> ln((1+k)/k) ≤ 1/k ==> ln(1+k) - ln(k)≤ 1/k --------- x/(x+1)≤ ln(x+1) on pose x=1/k ==> (1/k)/(1/k+1)≤ ln(1/k+1) ==>1/(k+1) ≤ ln((k+1)/k) ==>1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) et finalement : 1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k ------------------- Partie 2 1------------- un= 1/(n+1)+1/(n+2)+……….+1/(2*n) --------- si l'on remplace k par n+1 puis n+1, n+2,…..2*n dans la relation : 1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k on obtient : 1/(n+2) ≤ ln(n+2)-ln(n+1) ≤ 1/(n+1) 1/(n+3) ≤ ln(n+3)-ln(n+2) ≤ 1/(n+2) …………. 1/(2*n+1) ≤ ln(2*n+1)-ln(2*n) ≤ 1/(2*n) en faisant la somme de ces expressions membre à membre on obtient 1/(n+2) +1/(n+3)+…………. 1/(2*n+1) ≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ 1/(n+1) +1/(n+2)+…………. 1/(2*n) un+1/(2*n+1)-1/(n+1)≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ un 2------------- un-n/((2*n+1)*(n+1))≤ln((2*n+1)/(n+1))≤ un dont on déduit : ln((2*n+1)/(n+1))≤ un≤ln((2*n+1)/(n+1))+n/((2*n+1)*(n+1)) 3------------- Lorsque n->∞ alors : lim n/((2*n+1)*(n+1))=lim n/(2*n^2)->0 lim ln((2*n+1)/(n+1)) =lim ln(2*n/n) =ln(2) et un -> ln(2) ------------------- Partie 3 1------------- La limite de un étant ln(2) la suite étant croissante elle tend vers cette valeur lorsque n->∞ et il existe un rang n tel que ln(2)-0.01≤un≤ln(2) 2a------------- La suite un étant croissante, si le plus petit entier naturels n0 satisfait la relation ln(2)-0.01≤un≤ln(2) alors tous les entiers tels que n>n0 la satisfera. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
jajajajaja Posté(e) le 23 février 2018 Auteur Signaler Share Posté(e) le 23 février 2018 merci beaucoup pour votre réponse Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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