La Récurrence (ts)

[lulubellule]

J'ai deux exercices en M de math, j'ai déjà fait le premier mais je bloque sur le deuxième!

J'aimerais savoir si le premier exercice est juste et avoir un petit coup de pousse pour le deuxième svp!

Sujet:

Exercice1

1/ calculer les sommes:

A=1/(1*2)+1/(2*3)

puis B=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)

puis C=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4) +1/(4*5)

2/ Conjecturer alors une expression en fonction de n de la somme :

somme 1/[k(k+1)]

3/ Démontrer alors par récurrence cette conjecture

Ce que j'ai fait:

1/ A=2/3

B=3/4

C=4/5

2/ somme 1/[k(k+1)]= k/(k+1)

3/ -etape1:

Lorsque k=1:

1/[k(k+1)]= 1/2 et k/(k+1)=1/2

Donc la propriétée est vérifiée pour k=1

-étape2:

On suppose que la propriété est vraie pour un entier p

càd somme 1/[p(p+1)]= p/(p+1)

On démontre que la propriété est vraie pour l'entier suivant p+1

càd somme 1/[(p+1)(p+2)]=(p+1)/(p+2)

somme 1/[p(p+1)] = p/(p+1)

somme 1/[p(p+1)] + 1/[(p+1)(p+2)]= p/(p+1) + 1/[(p+1)(p+2)]

somme 1/[(p+1)(p+2)]=[1/(p+1)] [p+1/(p+2)]

=[1/(p+1)] [(p²+2p+1)/(p+2)

=[1/(p+1)] [(p+1)²/(p+2)]

=(p+1)/(p+2)

Cette conjecture est donc vraie pour tt entier p >ou= 1

Sujet:

Exercice2

Pour tout entier n>ou=1 on pose:

n!=1*2*3*......*n

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n >ou+1 on a

n!>ou=2^(n-1)

Ce que j'ai fait:

Soit n!=Un

Etape1:

U1=1 et 2^(1-1)= 1

Donc la propriété est vraie pour n=1

Etape2:

On suppose que la propriété esr vraie pour un entier p

càd: Up>ou= 2^(p-1)

On démontre que la propriété est vraie pour l'entier suivant p+1

càd: U(p+1)>ou= 2^p

Up>ou= 2^(p-1)

1*2*3*......*p>ou= 2^(p-1)

1*2*3*......*p*(p+1) >ou= [2^(p-1)] (p+1)

U(p+1)>ou= [2^(p-1)]*p + 2^(p-1)

et après je ne sais plus quoi faire...

Merci d'avance pour votre aide!

[did75]

Pour moi, c'est parfait pour l'exercice 1.

Pour l'exercice 2 - Etape 2

Quand tu en es à:

1*2*3*......*p*(p+1) [2^(p-1)] (p+1)

(avant dernière ligne de ton calcul) il te suffit de dire que p+1 2 (puisque p 1)

donc

1*2*3*......*p*(p+1) [2^(p-1)] x 2 = 2^p

ce qui montre la propriété par récurrence.

[Papy BERNIE]

Bonjour,

le 1) est bien fait.

Pour le 2) tu écris :

U(p+1)>ou= [2^(p-1)]*p + 2^(p-1)

Et là tu es bloquée ( tu es une fille? je suppose avec ce pseudo?) mais tu peux tjrs choisir p>2 donc: p=2+k

U(p+1)>ou= [2^(p-1)]*p + 2^(p-1)=[2^(p-1)]*(2+k)+2^(p-1)

=2^(p-1)*2+2^(p-1)*k+2^(p-1)

=2^p+........

Donc U(p+1)> ou = 2^p

NON?

Salut.

[trollet]

salut

il y a fort longtemps que je n'ai pas joué à la récurrence, mais il me semble qu'il est plus aisé de partir de ce que tu dois montrer (la propriété vraie pour p+1).

dans ton ex 2 je verrais un truc comme cela :

1*2*...*n*(n+1) 2^n (à démontrer)

1*2*...*n*(n+1)>=2^(n-1) *2

Or 1*2*...*n>=2^(n-1)

donc 2^(n-1)*(n+1)>=2^(n-1) *2

soit n+1>=2 ca qui est le cas puisque n>=1.

en bref, il faudrait faire apparaître dans ta démonstration la propriété que tu supposes être vraie (au rang n) pour démontrer plutôt que de partir de cette proposition.

A +

[lulubellule]

Merci pour toutes vos propositions meme si je n'ai pas compris celles de trollet et de did75!

J'opterai donc pour la proposition de papy bernie!

Encore merci d'avoir essayé de m'aider @++