Aller au contenu

Svp Besoin D'aide Pour Géométrie Dans L'espace!


chris87

Messages recommandés

bonjour!

j'aurais besoin de votre aide pour un exercice avec lequel j'ai un peu de mal dont voici l'énoncé:

Intersection d'une sphére et d'un cylindre:

On considère la sphère S d'équation x²+y²+z²=R²

et le cylindre C d'équation x²+y²=r²

Le but de l'exercice est de déterminer l'intersection de S et C

1/Soit M(x,y,z) un point de l'intersection.

Calculer z² en fonction de R et r.En déduire que si R<r, l'intersection est vide.Expliquez géométriquement ce qui se passe.

2/On suppose R=r.Montrer que l'intersection est un cercle contenu dans le plan d'équation z=0.Quel est le rayon de ce cercle?

3/On suppose que R>r.On appelle P1 et P2 les plans d'équations respectives:

P1: z=VR²-r²

P2: z=-VR²-r² avec V= racine carré

Montrer que l'intersection est formée de 2 cercles, l'un ontenu dans P1 et l'autre dans P2.

Préciser le rayon des 2 cercles.

merci beaucoup de votre aide!!!!

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

  • E-Bahut

Bonjour,

On considère la sphère S d'équation x²+y²+z²=R²

et le cylindre C d'équation x²+y²=r²

Le but de l'exercice est de déterminer l'intersection de S et C

1/Soit M(x,y,z) un point de l'intersection.

Calculer z² en fonction de R et r.En déduire que si R<r, l'intersection est vide.Expliquez géométriquement ce qui se passe.

z²=R²-(x²+y²)=R²-r²

si R<r alors comme ce sont des nbs >0 , on a : R²<r² et z² serait négatif : c'est impossible.

Dans ce cas, la sphère est intérieure au cylindre.

2/On suppose R=r.Montrer que l'intersection est un cercle contenu dans le plan d'équation z=0.Quel est le rayon de ce cercle?

Si R=r alors z²=0 donc z=0

Tous les points de l'intersection ont pour coordonnées (x,y,0) : ils sont dans le plan z=0 qui coupe la sphère S selon un cercle dont le rayon est R=r car :

x²+y²=R²=r²

(En fait la sphère est tangente au cylindre en son "équateur" )

3/On suppose que R>r.On appelle P1 et P2 les plans d'équations respectives:

P1: z=V(R²-r²)

P2: z=-V(R²-r²) avec V= racine carré

Montrer que l'intersection est formée de 2 cercles, l'un ontenu dans P1 et l'autre dans P2.

Préciser le rayon des 2 cercles.

On a les pts de l'intersection M(x,y,z).

Ils sont sur la sphère donc x²+y²+z²=R² soit z²=R²-(x²+y²) (1)

Ils sont sur le cylindre donc x²+y²=r² que l'on reporte dans (1) donc :

z²=R²-r² (2)

Comme R>r alors R²-r²>0 donc on peut écrire que (2) implique:

z=+V(R²-r²) ou z=-V(R²-r²)

Les pts M sont donc dans les plans P1 et P2 : leur intersection avec une sphère est un cercle qui est le rayon r du cylindre.

VOILA CE QUE JE TE PROPOSE SOUS RESERVE D'EXAMEN!!!

Salut.

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

Archivé

Ce sujet est désormais archivé et ne peut plus recevoir de nouvelles réponses.

×
×
  • Créer...
spam filtering