Svp Besoin D'aide Pour Géométrie Dans L'espace!

[chris87]

bonjour!

j'aurais besoin de votre aide pour un exercice avec lequel j'ai un peu de mal dont voici l'énoncé:

Intersection d'une sphére et d'un cylindre:

On considère la sphère S d'équation x²+y²+z²=R²

et le cylindre C d'équation x²+y²=r²

Le but de l'exercice est de déterminer l'intersection de S et C

1/Soit M(x,y,z) un point de l'intersection.

Calculer z² en fonction de R et r.En déduire que si R<r, l'intersection est vide.Expliquez géométriquement ce qui se passe.

2/On suppose R=r.Montrer que l'intersection est un cercle contenu dans le plan d'équation z=0.Quel est le rayon de ce cercle?

3/On suppose que R>r.On appelle P1 et P2 les plans d'équations respectives:

P1: z=VR²-r²

P2: z=-VR²-r² avec V= racine carré

Montrer que l'intersection est formée de 2 cercles, l'un ontenu dans P1 et l'autre dans P2.

Préciser le rayon des 2 cercles.

merci beaucoup de votre aide!!!!

[Papy BERNIE]

Bonjour,

On considère la sphère S d'équation x²+y²+z²=R²

et le cylindre C d'équation x²+y²=r²

Le but de l'exercice est de déterminer l'intersection de S et C

1/Soit M(x,y,z) un point de l'intersection.

Calculer z² en fonction de R et r.En déduire que si R<r, l'intersection est vide.Expliquez géométriquement ce qui se passe.

z²=R²-(x²+y²)=R²-r²

si R<r alors comme ce sont des nbs >0 , on a : R²<r² et z² serait négatif : c'est impossible.

Dans ce cas, la sphère est intérieure au cylindre.

2/On suppose R=r.Montrer que l'intersection est un cercle contenu dans le plan d'équation z=0.Quel est le rayon de ce cercle?

Si R=r alors z²=0 donc z=0

Tous les points de l'intersection ont pour coordonnées (x,y,0) : ils sont dans le plan z=0 qui coupe la sphère S selon un cercle dont le rayon est R=r car :

x²+y²=R²=r²

(En fait la sphère est tangente au cylindre en son "équateur" )

3/On suppose que R>r.On appelle P1 et P2 les plans d'équations respectives:

P1: z=V(R²-r²)

P2: z=-V(R²-r²) avec V= racine carré

Montrer que l'intersection est formée de 2 cercles, l'un ontenu dans P1 et l'autre dans P2.

Préciser le rayon des 2 cercles.

On a les pts de l'intersection M(x,y,z).

Ils sont sur la sphère donc x²+y²+z²=R² soit z²=R²-(x²+y²) (1)

Ils sont sur le cylindre donc x²+y²=r² que l'on reporte dans (1) donc :

z²=R²-r² (2)

Comme R>r alors R²-r²>0 donc on peut écrire que (2) implique:

z=+V(R²-r²) ou z=-V(R²-r²)

Les pts M sont donc dans les plans P1 et P2 : leur intersection avec une sphère est un cercle qui est le rayon r du cylindre.

VOILA CE QUE JE TE PROPOSE SOUS RESERVE D'EXAMEN!!!

Salut.