calcul de limite (mathématiques mpsi)

[aurorea]

Bonjour, je suis en prépa mpsi et j'ai une limite à calculer :

lim(x → +∞) de (xln(cosh(x)-1))/(x²+1).
On possède comme outils les équivalents et les développements limités, mais nous n'avons travaillé que pour des x tendant vers 0 et pas +∞, donc j'avoue ne pas savoir comment m'y prendre.
J'ai essayé de poser x=1/u avec u→0+ mais ça ne me mène pas plus loin.

Merci d'avance pour votre aide

[julesx]

Bonjour,

Je ne suis pas matheux, je bricole simplement, mais, en attendant mieux...

En espérant avoir bien lu, je pars de x/(x²+1)*ln(cosh(x)-1).

cosh(x)-1=2sinh²(x/2)

Donc ln(cosh(x)-1)=ln(2sinh²(x/2))=ln(2)+2ln(sinh(x/2))

Quand x tend vers l'infini, sinh(x/2) se comporte comme (est équivalent à ?) e^x/2/2.

Au total, je te laisse vérifier que, compte tenu du fait que x/(x²+1) fait tendre vers 0 les termes constants restants, il ne subsiste que x/(x²+1)*x qui tend donc vers 1.