Exercice d'arithmétique

[Blabla26]

Bonjour, pourriez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plaît je ne sais pas si tout comment m'y prendre. 

On note p un nombre premier, p>3

Il existe donc des entiers naturels q et r tels que p = 6q + r avec 0 r 5, r étant le reste de la division euclidienne de p par 6.

Dans les questions précédentes, on a :

- émis la conjecture que le reste de la division euclidienne d'un nombre premier strictement supérieur à 3 valait 1 ou 5;

- démontré que p est pair si r=2 ou r=4;

- démontré que p est divisible par 3 si r= 0 ou r=3. 

Et donc les questions sur lesquelles je bloque sont les suivantes :

• En déduire que si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors il existe q appartenant à N tel que p=6q+1 ou p=6q+5

• Démontrer, à l'aide du résultat de la question précédente que le résultat du programme de calcul suivant est toujours égal à 1 :

- Choisir un nombre premier strictement supérieur à 3.

- Calculer son carré.

- Calculer le reste de la division euclidienne du résultat par 12.

 

Je vous remercie d'avance, j'espère vraiment que vous pourrez répondre à ces questions. Bonne journée.

[julesx]

Bonsoir,

• En déduire que si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors il existe q appartenant à N tel que p=6q+1 ou p=6q+5

Tu sais que 0<=r<=5. D'autre part, si r=2 ou 4, p est pair et si r=0 ou 3, p est divisible par 3, quelles possibilités te restent-ils pour que p soit premier ?

• Démontrer, à l'aide du résultat de la question précédente que le résultat du programme de calcul suivant est toujours égal à 1

Calcule p² pour les deux possibilités de p et interprète le résultat.

[Blabla26]

Il y a 14 heures, julesx a dit :

Bonsoir,

• En déduire que si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors il existe q appartenant à N tel que p=6q+1 ou p=6q+5

Tu sais que 0<=r<=5. D'autre part, si r=2 ou 4, p est pair et si r=0 ou 3, p est divisible par 3, quelles possibilités te restent-ils pour que p soit premier ?

Bonjour,

Je n'ai pas bien saisi comment on peut savoir que la seule possibilité restante est que p est premier quand r=1 ou r=5 (il pourrait être impair ou autre chose mais pas forcément premier) ?

[julesx]

Bonjour,

On le sait parce qu'on a précisé au départ
"On note p un nombre premier, p>3".

Ensuite, on montre simplement que si r=0, 2, 3 ou 4, p ne peut pas être premier, donc ne répond pas à l'hypothèse que départ. Par contre, comme r=1 ou r=5 ne sont pas incompatibles avec l'hypothèse p premier, on en conclut qu'il existe bien des nombres premiers tels que p=6q+1 ou p=6q+5.

Pour info, les premiers entiers donnant les bons restes sont
7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35...
Tu vois que, déjà là, apparaissent des entiers non premiers qui répondent à la condition sur le reste et qu'il est impératif de précisé au départ qu'on part d'entiers premiers.

 

 

 

[Blabla26]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Bonjour,

On le sait parce qu'on a précisé au départ
"On note p un nombre premier, p>3".

Ensuite, on montre simplement que si r=0, 2, 3 ou 4, p ne peut pas être premier, donc ne répond pas à l'hypothèse que départ. Par contre, comme r=1 ou r=5 ne sont pas incompatibles avec l'hypothèse p premier, on en conclut qu'il existe bien des nombres premiers tels que p=6q+1 ou p=6q+5.

Pour info, les premiers entiers donnant les bons restes sont
7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35...
Tu vois que, déjà là, apparaissent des entiers non premiers qui répondent à la condition sur le reste et qu'il est impératif de précisé au départ qu'on part d'entiers premiers.

 

 

 

Bonjour,

On le sait parce qu'on a précisé au départ
"On note p un nombre premier, p>3".

Ensuite, on montre simplement que si r=0, 2, 3 ou 4, p ne peut pas être premier, donc ne répond pas à l'hypothèse que départ. Par contre, comme r=1 ou r=5 ne sont pas incompatibles avec l'hypothèse p premier, on en conclut qu'il existe bien des nombres premiers tels que p=6q+1 ou p=6q+5.

Pour info, les premiers entiers donnant les bons restes sont
7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35...
Tu vois que, déjà là, apparaissent des entiers non premiers qui répondent à la condition sur le reste et qu'il est impératif de précisé au départ qu'on part d'entiers premiers.

(Re)Bonjour,

Merci pour votre réponse, j'ai compris maintenant. Bonne journée.

[julesx]

De rien, bonne continuation.