Développement limité et demi-tangentes

[rrg88]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour trouver les demi-tangentes et le développement limité à droite pour la question 4)c).

Si quelqu'un pourrai m'aider , merci d'avances.

[julesx]

Bonsoir,

Désolé de répondre aussi tard, mais n'étant pas matheux à la base, j'ai eu du mal avec les développements limités.

atan(1-1/x²) a comme développement limité d'ordre 2 2*(x-1)-3*(x-1)²

=>

atan(x²/(x²-1) a comme développement limité d'ordre 2 -π/2-2*(x-1)-3*(x-1)² si x²<1 et π/2-2*(x-1)-3*(x-1)² si x²>1, cf. relation entre atan(x) et atan(1/x) et valeurs de atan(±∞)

Pour faire le produit des développements limités, il faut transformer x+1/2 en 3/2+(x-1).

En se limitant a à l'ordre 1, qui suffit pour déterminer les équations des tangentes, on a

(x+1/2)*atan(x²/'(x²-1) )≈3/2*(±π/2-2*(x-1))=±3π/4+(±π-6)/2*(x-1) (le terme en (x-1)² étant évidemment ignoré).

Les demi-tangentes à gauche et à droite ont donc pour équations

±3π/4+(±π-6)/2*(x-1) qu'il faut simplement développer pour regrouper les termes constants.

 

[rrg88]

Bonjour, merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre