Séries numérique maths spé

[Lola1234]

Bonsoir, j’ai besoin d’aide pour ces petits exos d’entraînement de math, avec lesquels j’ai du mal.

merci d’avance pour l’aide.

[Black Jack]

Bonjour

4)

U(n) = -1^(n-1)/(ln(n))^5
U(n+1) = -1^n/(ln(n+1))^5

|U(n+1)|/|U(n)| = (ln(n)/ln(n+1))^5
|U(n+1)|/|U(n)| < 1

lim(n--> +oo) U(n) = 0

La série est alternée, on a |U(n+1)|/|U(n)| < 1 et on a lim(n--> +oo) U(n) = 0

On peut donc utiliser le théorème de Leibniz ... et conclure immédiatement que la série converge.

Voir par exemple ici pour le théorème de Leibniz (énoncé et démo)  : https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_alternée

 

[Black Jack]

4 suite)

Théorème de Leibniz ...

Comme on est dans le cas correspondant au théorème de Leibniz, l'erreur faite en négligeant les termes de la série à partir d'un certain rang est inférieure ou égale en valeur absolue au 1er terme négligé.

Il faut donc trouver le rang du terme à partir duquel on peut arrêter (pour avoir la précision désirée).

1/(n.(ln(n))^5) 10^-2

n.(ln(n))^5 100

n 6 ---> on peut négliger le 6ème terme ... et les suivants.

SN = Somme (de n = 2 à 5) (-1)^(n-1)/(n.(ln(n))^5) à moins de 10^-2 près.

SN = -1/(2*ln^5(2)) + 1/(3*ln^5(3)) - 1/(4*ln^5(4)) + 1/(5*ln^5(5)) à moins de 10^-2 près

SN = -2,947 à moins de 10^-2 près par défaut (à cause du signe du 1er terme négligé)