Séries numérique math spé

[Lola1234]

Bonjour, j’ai besoin d’aide pour cet exercice d’entraînement, j’ai réussi à montrer que la série est convergente en trouvant comme équivalent 2/n^2 et donc par la comparaison des suite alternée, mais je ne sais pas si c’est la bonne méthode, et je n’arrive à faire le calcul de la somme de la série.

Merci d’avance pour l’aide.

[Black Jack]

Bonjour,

 

1 + 2/(n(n+3)) = (n²+3n+2)/(n(n+3)) = (n+1)(n+2)/(n(n+3))

Un = ln(1 + 2/(n(n+3)) = ln(n+1) + ln(n+2) - ln(n) - ln(n+3)

U1 = ln(2) + ln(3) - ln(1) - ln(4)

U2 = ln(3) + ln(4) - ln(2) - ln(5)

U3 = ln(4) + ln(5) - ln(3) - ln(6)

U4 = ln(5) + ln(6) - ln(4) - ln(7)

U1 + U2 + U3 + U4 + ... = ln(2) + ln(3) - ln(1) - ln(4) + ln(3) + ln(4) - ln(2) - ln(5) + ln(4) + ln(5) - ln(3) - ln(6) + ln(5) + ln(6) - ln(4) - ln(7) + ...

U1 + U2 + U3 + U4 + ... = ln(3) - ln(1) + ln(5)  - ln(7) + ... 

Si on continue jusque n --> +oo, tous les ln() se simplifient à l'exception de ln(3) - ln(1)

--> Somme (de n = 1 à +oo) ln(1 + 2/(n(n+3))) = ln(3) - ln(1) = ln(3)

 

?

[Lola1234]

Il y a 10 heures, Black Jack a dit :

Bonjour,

 

1 + 2/(n(n+3)) = (n²+3n+2)/(n(n+3)) = (n+1)(n+2)/(n(n+3))

Un = ln(1 + 2/(n(n+3)) = ln(n+1) + ln(n+2) - ln(n) - ln(n+3)

U1 = ln(2) + ln(3) - ln(1) - ln(4)

U2 = ln(3) + ln(4) - ln(2) - ln(5)

U3 = ln(4) + ln(5) - ln(3) - ln(6)

U4 = ln(5) + ln(6) - ln(4) - ln(7)

U1 + U2 + U3 + U4 + ... = ln(2) + ln(3) - ln(1) - ln(4) + ln(3) + ln(4) - ln(2) - ln(5) + ln(4) + ln(5) - ln(3) - ln(6) + ln(5) + ln(6) - ln(4) - ln(7) + ...

U1 + U2 + U3 + U4 + ... = ln(3) - ln(1) + ln(5)  - ln(7) + ... 

Si on continue jusque n --> +oo, tous les ln() se simplifient à l'exception de ln(3) - ln(1)

--> Somme (de n = 1 à +oo) ln(1 + 2/(n(n+3))) = ln(3) - ln(1) = ln(3)

 

?

Ah d’accord c’est beaucoup plus clair maintenant merci beaucoup!

[Black Jack]

Bonjour,

Une rédaction un peu plus "académique" de ma part aurait été :

1 + 2/(n(n+3)) = (n²+3n+2)/(n(n+3)) = (n+1)(n+2)/(n(n+3))

Un = ln(1 + 2/(n(n+3)) = ln(n+1) + ln(n+2) - ln(n) - ln(n+3)

U1 = ln(2) + ln(3) - ln(1) - ln(4)

U2 = ln(3) + ln(4) - ln(2) - ln(5)

U3 = ln(4) + ln(5) - ln(3) - ln(6)

U4 = ln(5) + ln(6) - ln(4) - ln(7)

U1 + U2 + U3 + U4  = ln(2) + ln(3) - ln(1) - ln(4) + ln(3) + ln(4) - ln(2) - ln(5) + ln(4) + ln(5) - ln(3) - ln(6) + ln(5) + ln(6) - ln(4) - ln(7) 

U1 + U2 + U3 + U4 = ln(3) - ln(1) + ln(5)  - ln(7)

U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un = ln(3) - ln(1) + ln(n+1)  - ln(n+2)

U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un = ln(3)  + ln((n+1)/(n+2))

lim(n--> +oo) [U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un ] = ln(3) + lim(n--> +oo) ln((n+1)/(n+2))

lim(n--> +oo) [U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un ] = ln(3) + ln(1)

lim(n--> +oo) [U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un ] = ln(3) 

--> Somme (de n = 1 à +oo) ln(1 + 2/(n(n+3))) = ln(3) - ln(1) = ln(3)