Intégrale math sup convergence et calcul

[Lola1234]

Bonjour j’aurai vraiment besoin d’aide pour la démonstration de la convergence et le calcul de cette intégrale.

 

Merci d’avance 

[Black Jack]

Bonjour,

 

Pour le calcul, il faut faire deux IPP successives.

Poser 
sin(t) = u --> cos(t) dt = du
e^(-at) dt = dv --> v = -1/a * e^(-at)

S sin(t).e^(-at) dt = (1/a)*sin(t)* e^(-at) + (1/a) S e^(-at) cos(t) dt

Il faut traiter maintenant S e^(-at) cos(t) dt

On le fait en posant :
cos(t) = u --> -sin(t) dt = du
e^(-at) dt = dv --> v = -1/a * e^(-at)

... je te laisse le faire. (tu vas, entre autre, retrouver un terme en S sin(t).e^(-at) dt

Quand ce sera fait, il faudra regrouper les termes S sin(t).e^(-at) dt dans un membre et tout le reste dans l'autre membre de l'équation.

... et puis passer aux bornes d'intégration.

?

[Lola1234]

Il y a 7 heures, Black Jack a dit :

Bonjour,

 

Pour le calcul, il faut faire deux IPP successives.

Poser 
sin(t) = u --> cos(t) dt = du
e^(-at) dt = dv --> v = -1/a * e^(-at)

S sin(t).e^(-at) dt = (1/a)*sin(t)* e^(-at) + (1/a) S e^(-at) cos(t) dt

Il faut traiter maintenant S e^(-at) cos(t) dt

On le fait en posant :
cos(t) = u --> -sin(t) dt = du
e^(-at) dt = dv --> v = -1/a * e^(-at)

... je te laisse le faire. (tu vas, entre autre, retrouver un terme en S sin(t).e^(-at) dt

Quand ce sera fait, il faudra regrouper les termes S sin(t).e^(-at) dt dans un membre et tout le reste dans l'autre membre de l'équation.

... et puis passer aux bornes d'intégration.

?

Bonjour, j’ai bien retrouver un terme en 

Ssin(t).e^(-at) dt , mais je comprend pas le changement de bornes car j’ai garder depuis le début 0, +infini 

[Black Jack]

Bonjour,

 

Poser 
sin(t) = u --> cos(t) dt = du
e^(-at) dt = dv --> v = -1/a * e^(-at)

S sin(t).e^(-at) dt = (1/a)*sin(t)* e^(-at) + (1/a) S e^(-at) cos(t) dt  (1)

Il faut traiter maintenant S e^(-at) cos(t) dt

On le fait en posant :
cos(t) = u --> -sin(t) dt = du
e^(-at) dt = dv --> v = -1/a * e^(-at)

S e^(-at) cos(t) dt = -1/a * e^(-at)*cos(t) - 1/a * S e^(-at) * sin(t) dt 

Ceci remis dans (1) -->

S sin(t).e^(-at) dt = (1/a)*sin(t)* e^(-at) + (1/a) * [-1/a * e^(-at)*cos(t) - 1/a * S e^(-at) * sin(t) dt ]

S sin(t).e^(-at) dt = (1/a)*sin(t)* e^(-at) - 1/a² * e^(-at)*cos(t) - 1/a² * S e^(-at) * sin(t) dt ]

S sin(t).e^(-at) dt * [1 + 1/a²] = (1/a)*sin(t)* e^(-at) -1/a² * e^(-at)*cos(t)

S sin(t).e^(-at) dt * (a² + 1)/a² = (1/a)*sin(t)* e^(-at) -1/a² * e^(-at)*cos(t)

S sin(t).e^(-at) dt = a²/(1+a²) * [(1/a)*sin(t)* e^(-at) - 1/a² * e^(-at)*cos(t)]

S sin(t).e^(-at) dt = a/(1+a²) * e^(-at) * [sin(t) - 1/a * cos(t)]

S(de 0 à +oo) sin(t).e^(-at) dt = a/(1+a²) * [e^(-at) * (sin(t) - 1/a * cos(t)](de0à+oo)

S(de 0 à +oo) sin(t).e^(-at) dt = a/(1+a²) * [0 - 1*(0 - 1/a)] = 1/(1+a²) ... si a > 0

 

 

[Lola1234]

il y a 20 minutes, Black Jack a dit :

Bonjour,

 

Poser 
sin(t) = u --> cos(t) dt = du
e^(-at) dt = dv --> v = -1/a * e^(-at)

S sin(t).e^(-at) dt = (1/a)*sin(t)* e^(-at) + (1/a) S e^(-at) cos(t) dt  (1)

Il faut traiter maintenant S e^(-at) cos(t) dt

On le fait en posant :
cos(t) = u --> -sin(t) dt = du
e^(-at) dt = dv --> v = -1/a * e^(-at)

S e^(-at) cos(t) dt = -1/a * e^(-at)*cos(t) - 1/a * S e^(-at) * sin(t) dt 

Ceci remis dans (1) -->

S sin(t).e^(-at) dt = (1/a)*sin(t)* e^(-at) + (1/a) * [-1/a * e^(-at)*cos(t) - 1/a * S e^(-at) * sin(t) dt ]

S sin(t).e^(-at) dt = (1/a)*sin(t)* e^(-at) - 1/a² * e^(-at)*cos(t) - 1/a² * S e^(-at) * sin(t) dt ]

S sin(t).e^(-at) dt * [1 + 1/a²] = (1/a)*sin(t)* e^(-at) -1/a² * e^(-at)*cos(t)

S sin(t).e^(-at) dt * (a² + 1)/a² = (1/a)*sin(t)* e^(-at) -1/a² * e^(-at)*cos(t)

S sin(t).e^(-at) dt = a²/(1+a²) * [(1/a)*sin(t)* e^(-at) - 1/a² * e^(-at)*cos(t)]

S sin(t).e^(-at) dt = a/(1+a²) * e^(-at) * [sin(t) - 1/a * cos(t)]

S(de 0 à +oo) sin(t).e^(-at) dt = a/(1+a²) * [e^(-at) * (sin(t) - 1/a * cos(t)](de0à+oo)

S(de 0 à +oo) sin(t).e^(-at) dt = a/(1+a²) * [0 - 1*(0 - 1/a)] = 1/(1+a²) ... si a > 0

 

 

Ahh d’accord merci beaucoup!