Integration math spé

[Lola1234]

Bonjour j’ai besoin d’aide pour ces intégrations mais en particulier pour la B C D E et F.

Merci d’avance 

[Black Jack]

Bonjour,

Par exemple pour la C)

Changement de variable : t = cos(x)
dt = -sin(x) dx
V(1-t²) = |sin(x)|
t²+1 = 1+cos²(x)

t=-1 --> x = -Pi et t=1 --> x = Pi

Donc C = - S(de-Pi à 0) sin(x)/(|sin(x)|.(1+cos²(x))) dx

et compte tenu que sin(x) < 0 sur ]-Pi ; 0[ --->  C = S(de-Pi à 0) 1/(1+cos²(x)) dx

Changement de variable : tan(x) = u
1/cos²(x) dx = du

1 + tan²(x) = 1/cos²(x) 
cos²(x) = 1/(1+u²)
1 + cos²(x) = (2+u²)/(1+u²)

dx = du/(1+u²)

S 1/(1+cos²(x)) dx = S (1+u²)/(2+u²) * du/(1+u²) = S du/(2+u²)

Changement de variable : u = V2 * v
du = V2 dv

S du/(2+u²) = (1/V2) S dv/(1+v²) = (1/V2).arctan(v) = (1/V2) * arctan(u/V2) = (1/V2) * arctan(tan(x)/V2)

C = (1/V2) * [arctan(tan(x)/V2)](de(-Pià0)
C = (1/V2) * (0 - (-Pi)) = Pi/V2
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Au lieu de faire 3 changements de variables successifs, on peut frimer en proposant 1 seul changement de variable englobant les 3, mais ce ne serait que de l'esbroufe.

 

 

[Black Jack]

Rebonjour,

 

B)

IPP en posant :
ln(1-x²) = u --> -2x/(1-x²) dx = du
et dx/x² = dv --> v = -1/x

Cela conduit à S ln(1-x²) dx/x² = -ln(1-x²)/x - 2 S dx/(1-x²)
et S dx/(1-x²) est sans soucis ...
 
On arrive à S ln(1-x²) dx/x² = -ln(1-x)/x - ln(x+1) + ln(1-x)

et en passant aux bornes d'intégration (avec les précautions d'usage), on arrive à B = 2.ln(2)

 

 

[Black Jack]

Bonjour,

 

D)
IPP avec : 
arctan(t) = u --> dt/(1+t²) = u
x/(x²+1)dx = dv --> v = (1/2)/(x²+1)

En court de route, on passe (entre autre chose) par une forme S dt/(t²+1)² ... qui est sans difficulté majeure.

Sauf erreur, on calcule finalement D = Pi/8
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E)
Par exemple, montrer que ln(t)/(t+e^-t) > 1/t pour t suffisamment grand 

Comme S(de a à +oo) dt/t diverge (vers +oo), alors E diverge aussi.
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F)
Poser e^x = t
e^x dx = dt
dx = dt/t

e^(x+1)+e^(3-x) = e^x * e + e^-x * e³ = e * t + e³/t = (e*t² + e³)/t

Cela devrait te conduire à : 

dx/(e^(x+1)+e^(3-x)) = t/(e*t² + e³) * dt/t = (1/e) * dt/(t² + e²)

Poser t = e*u
dt = e du

Cela devrait te conduire à :  S dx/(e^(x+1)+e^(3-x)) =  (1/e²) * S du/(u² + 1) ... qui est immédiat.

et qui devrait mener en remontant les changements de variables à : S dx/(e^(x+1)+e^(3-x)) = (1/e²) * arctan(e^(x-1))

Et donc F = [(1/e²) * arctan(e^(x-1))](de 1 à +oo) = ... =  Pi/(4e²)

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Sans aucune relecture ...