Soit f définie sur ]0 ; + ∞[ par : f ( x )= (1+ x)/x*( √1+ √x −1)

[Yumi27]

[Barbidoux]

f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x
1a-----------
lorsque x->∞ alors
lim f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x =x*√x/x=√x -> ∞
1b-----------
f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x=f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1*(√(1+x)+1)/(x*(√(1+x)+1)
=(1+x)*x/(x*(√(1+x)+1)=(1+x)/(√(1+x)+1)
1c-----------
lorsque x-> lim f(x)=(1+0)/(√(1+0)+1)=1/2
2a-----------
f(x) est le rapport de deux fonctions dérivables sur ]0, ∞[ donc dérivable sur cet intervalle
f'(x)= 1/(√(x+1)+1)-√([x + 1)/(2 (√(x+1)+1)^2)=(√(x+1)+2)/(2*(√(x+1)+1)^2)
x étant >0 sur ]0, ∞[, f'(x) l'est aussi et la fonction f(x) est croissante sur cet intervalle.
2b-----------
x……………........0…………………………………..∞
f'(x)………………………………(+)………………
f(x)…………(1/2)……………croissante………∞

2c-----------
f'(x) étant >0 sur ]0, ∞[, la fonction f(x) est croissante sur cet intervalle.
f(0)=1/2, f(1)=2/(1+√2)<1
On en déduit que
f([1/2;1]) appartient à [1/2;1]