raisonnement par récurrence terminale

[Am_k0]

Bonjour , j'ai un petit exercice sur les recurrences et je ne comprends pas une des étape ( hérédité )

Donc l'exercice nous dit :

Montrer que pour tout entier n E N,  6 divise 7ⁿ-1 

on a fait donc la partie  initialisation pour n=0 et donc on trouve 6

et ensuite on a écrit : ( hérédité)

7ⁿ -1 = 7ⁿ × 7 -1 

= (6k+1)× (7-1) jusqu'à la j'ai compris 

= 42k +7-1 (mais la j'ai pas compris comment il a fait pour trouver ça !)

= 42k+6

= 6(7k+1) 

Vous pouvez m'expliquer s'il vous plait ..? 

Merci en avance 

Modifié le 11 septembre 2019 par Souiki

[Barbidoux]

il y a 8 minutes, Souiki a dit :

Bonjour , j'ai un petit exercice sur les recurrences et je ne comprends pas une des étape ( hérédité )

Donc l'exercice nous dit :

Montrer que pour tout entier n E N,  6 divise 7ⁿ-1 

on a fait donc la partie  initialisation pour n=0 et donc on trouve 6

ensuite on suppose que la proposition est vraie à l'ordre n  c'est-à-dire que 6 divise 7ⁿ-1. A l'ordre n+1 on a :

7ⁿ⁺¹ -1 = 7*7ⁿ-1 =7*7ⁿ-7+6 =7*(7ⁿ-1)+6

or  6 divise 7ⁿ-1 donc 7*(7ⁿ-1)+6 ce qui montre que 7ⁿ⁺¹ -1 est divisible par 6. La proposition étant vraie à l'ordre n+1 est héréditaire et donc valide pour toute valeur de n

 

 

 

[Am_k0]

il y a 13 minutes, Barbidoux a dit :

 

J'ai bien compris les calculs mais je comprends pas comment (ce calcule) peut montrer que 6 divise 7ⁿ⁺¹ -1 ? 

 

Modifié le 11 septembre 2019 par Souiki

[Barbidoux]

7ⁿ⁺¹ -1  = 7*(7ⁿ-1)+6  si (7ⁿ-1) est divisible par 6  alors on peu écrire (7ⁿ-1)=6*k  et donc 7ⁿ⁺¹ -1  = 7*(7ⁿ-1)+6=7*6*k+6=6*(7*k+1) donc 7ⁿ⁺¹ -1  = 7*(7ⁿ-1)+6  est divisible par 6
 

[Am_k0]

il y a 17 minutes, Barbidoux a dit :

7ⁿ⁺¹ -1  = 7*(7ⁿ-1)+6  si (7ⁿ-1) est divisible par 6  alors on peu écrire (7ⁿ-1)=6*k  et donc 7ⁿ⁺¹ -1  = 7*(7ⁿ-1)+6=7*6*k+6=6*(7*k+1) donc 7ⁿ⁺¹ -1  = 7*(7ⁿ-1)+6  est divisible par 6
 

aa oui d'accord merci beaucoup !