Coefficient de Fourier

[Ch00Ch00]

Bonjour à tous, 

Nous avons à déterminer le coefficient de Fourier d'une fonction 2pi périodique et impaire telle que pour x appartenant à [0; pi], f(x) = x(pi - x).

Après avoir fait les calculs, on obtient a₀ = 0  a_n = 0  b_2k+1 = 8 / pi(2k+1)³ 

Ma question est pourquoi a-t-on déterminer b_2k+1 et b_2k = 0 ? Dans quel cas, détermine t-on n = 2k et n = 2k+1 ? 

Merci

Cordialement, 

[julesx]

Dans un développement en série de Fourier, par défaut, on a une constante et une suite de termes en cosinus , donc des termes pairs, et une suite de termes en sinus, donc impairs.

* Si la fonction à développer est paire, le développement ne peut comporter que des termes pairs, donc une constante( éventuelle) et des termes en cosinus.

* Si la fonction à développer est impaire, le développement ne peut comporter que des termes impairs, donc des termes en sinus.

Vu que ta fonction est impaire, le développement ne comportera effectivement que des termes impairs, donc en b_k+1 (en supposant que ces b_k+1 correspondent aux coefficients en sinus, ça parait logique, mais il est toujours préférable de préciser au départ la forme du développement, qui n'est pas forcément la même pour tout le monde).

Dans ce cas, comme pour les fonctions paires, des simplifications apparaissent pour le calcul des coefficients. Je te renvoie à la littérature à ce sujet (très abondante) sur le net.

[Ch00Ch00]

Bonsoir julesx, 

Merci pour votre réponse. Si je comprends bien:

* Si on est dans le cas d'une fonction impaire alors a_n = 0 et b_2k+1 = ... 

* Si on est dans le cas d'une fonction paire alors a_2k = ... et b_n = 0 

Est-ce bien ça ? 

Vous avez parlé de la forme du développement, est-ce b_n = 2/pi intégrale allant de 0 à pi f(x)cos(nx) dx ? 

 

Cordialement, 

[julesx]

 

Merci pour votre réponse. Si je comprends bien:

* Si on est dans le cas d'une fonction impaire alors a_n = 0 et b_2k+1 = ... 

* Si on est dans le cas d'une fonction paire alors a_2k = ... et b_n = 0 

Est-ce bien ça ? 

Oui

Vous avez parlé de la forme du développement, est-ce bn = 2/pi intégrale allant de 0 à pi f(x)cos(nx) dx ?  

Je ne retrouve pas l'endroit où j'ai parlé de "forme du développement". Cela dit, ton intégrale correspond au cas d'une fonction paire. Dans ce cas, on peut effectivement ramener l'intégrale sur 2pi à 2 fois l'intégrale sur pi, cf. ce qu'on peut trouver dans la littérature évoquée plus haut.

 

[julesx]

Désolé, j'ai répondu un peu rapidement en mélangeant deux concepts.

* Le fait que la fonction soit paire ou impaire implique simplement une condition sur les coefficients an et bn :

fonction impaire => an=0 bn≠0

fonction paire => an≠0 bn=0

* Le fait qu'il n'existe que des coefficients d'indice 2n ou 2n+1 est lié à la forme particulière de la fonction périodique, indépendamment de sa parité.

A titre d'exemple, pour la fonction créneau symétrique, suivant l'origine choisie, on n'aura que des cosinus (origine au milieu du créneau), que des sinus (origine au passage par zéro) ou les deux (origine ailleurs). Par contre, le développement ne contiendra que des harmoniques impairs, donc d'indice 2k+1, les termes d'indice 2k, eux, étant nuls.

[julesx]

Complément pour illustrer l'exemple.

Cf. image du créneau,

les coefficients sont, dans le cas général t0 quelconque,

Quel que soit t0, il n'y a que des coefficients d'indice impair.

De plus,

t0=π => fonction impaire, les an sont nuls

t0=π/2 => fonction paire, les bn sont nuls

[Invité]

Bonjour,

Il y a quand même une histoire d'imparité sous-jacente.

En posant x=pi/2-u la fonction f(x) =x(pi-x) sin(2px) devient g(u)= (pi²/4-u²) sin(2pu), évidemment impaire . Il en résulte que l'intégrale de f sur sa demi-période [0 ; pi] est nulle.

Mais, bon, c'est pour le fun, l'essentiel est ce qu'a fort bien rappelé julesx que je salue.

[julesx]

Bonsoir JLN,

Je n'ai pas compris votre remarque. L'énoncé précise que la fonction f est impaire et vaut x( π -x) sur [0; π]. Son intégrale sur cet intervalle n'est pas nul, comme probablement  l’intégrale des multiplications par différentes fonctions trigonométriques (mais je n'ai pas vérifié).

Ce que je voulais surtout faire dans mon dernier post, c'est rectifier une réponse précipitée due à une lecture trop rapide, où je confondais la notion de parité de fonction et la notion d'harmoniques d'indice pair ou impair.

Mais il y a peut-être quelque chose qui m'a échappé...

 

[Ch00Ch00]

Bonjour JLN et julesx, 

Merci pour vos explications ! J'ai compris  

Une autre question, dans quel cas, on a le coefficient de fourier avec 1/pi ou 2/pi ?

 

 

Merci 

 

 

 

[Invité]

Bonsoir julesx, bonsoir Ch00Ch00,

Ma remarque n'avait d'autre intérêt que d'expliquer (sans calculer l'intégrale)  pourquoi les coefficients b_2p étaient nuls. Mais comme déjà dit c'est un cas d'espèce lié au cas particulier de cette fonction. Donc à oublier pour ne pas s'embrouiller inutilement l'esprit.

Ce qu'il faut retenir c'est :

fonction paire , les coeffs b_n sont nuls

fonction impaire , les coeffs a_n sont nuls.

Pour ce qui est du calcul des coeffs, je ne connais (pour une fonction 2pi-périodique) que les les formules

a0= 1/(2pi)f(t) dt; an=1/pi f(t) cos(nt) dt et bn=1/pi f(t) sin(nt) dt ; l'intégrale étant calculée sur [-pi, +pi]. Certains auteurs utilisent une définition différente pour le a0, afin de n'avoir toujours que le 1/pi devant l'intégrale.

PS. Je n'avais jamais vu un ciel aussi noir sur Paris. Il fait nuit...

[Ch00Ch00]

il y a 50 minutes, JLN a dit :

Bonsoir julesx, bonsoir Ch00Ch00,

Ma remarque n'avait d'autre intérêt que d'expliquer (sans calculer l'intégrale)  pourquoi les coefficients b_2p étaient nuls. Mais comme déjà dit c'est un cas d'espèce lié au cas particulier de cette fonction. Donc à oublier pour ne pas s'embrouiller inutilement l'esprit.

Ce qu'il faut retenir c'est :

fonction paire , les coeffs b_n sont nuls

fonction impaire , les coeffs a_n sont nuls.

Pour ce qui est du calcul des coeffs, je ne connais (pour une fonction 2pi-périodique) que les les formules

a0= 1/(2pi)f(t) dt; an=1/pi f(t) cos(nt) dt et bn=1/pi f(t) sin(nt) dt ; l'intégrale étant calculée sur [-pi, +pi]. Certains auteurs utilisent une définition différente pour le a0, afin de n'avoir toujours que le 1/pi devant l'intégrale.

PS. Je n'avais jamais vu un ciel aussi noir sur Paris. Il fait nuit...

Ah d'accord. Merci beaucoup pour vos explications !!! 

 

Oui, il peut des cordes

[julesx]

Juste un petit complément.

Comme l'a dit JLN (bonjour en passant), a priori, les coefficients se calculent par l'intégrale sur un intervalle de largeur 2π, intervalle qui peut d'ailleurs être pris à un endroit quelconque du domaine de définition de la fonction périodique. Par défaut, d'ailleurs, le plus souvent, on le prend égal à [0;2π] dans les définitions données par les cours habituels. Dans ce cas le coefficient devant l'intégrale est égal 2/2π, soit 1/π .

Lorsqu'on est en présence d'une fonction paire ou impaire, il est intéressant de prendre comme intervalle d'intégration [-π;π], car, vu les propriétés des fonctions trigonométriques, l'intégrale sur [-π;π] est alors égale à 2 fois l'intégrale sur [0;π]. C'est dans ces conditions qu'il apparaît le coefficient 2/π en facteur.

Donc, en résumé,

* avec un intervalle de largeur 2π, quelle que soit la forme de la fonction périodique, le coefficient est 1/π

* pour une fonction paire ou impaire, à condition de prendre comme intervalle d'intégration [0;π] (ou [-π;0], mais pourquoi compliquer), le coefficient est 2/π

à l'exception, bien sûr, du coefficient a₀.