Développement limité d'une fonction qui tend vers l'infini

[C8H10N4O2]

Bonjour à toutes et tous !

Soit f une fonction qui admet un DL au voisinage de a : 

 

f (x) = a₀+ a₁(x-a) + ... + a_n(x-a)ⁿ + (x-a)ⁿ. €(x) , avec Lim €(x) =0 quand x --> a

La formule de Taylor nous dit que les coefficients a_k sont tels que a_k= f^(k)(a) / k! 

Donc f (x) = f (a) + f⁽¹⁾(a).(x-a) + ... +[ f⁽ⁿ⁾(a) / n! ] . (x-a)ⁿ + (x-a)ⁿ. €(x)

Jusque là je comprends 

C'est lorsque f tend vers l'infini au voisinage de a que je ne suis plus le raisonnement. Quelle est alors l'expressiondu DL ? Quelqu'un pourrait-il me l'expliquer plus clairement que le manuel  sur lequel je travaille( voir pièce jointe) . Il est proposé comme exemple de déterminer le DL au voisinage 0 de 1/sin (x) , pour au final donner la réponse par la méthode de la division polynomiale de 1 par le DL de sin (x).

On obtient : 1/ sin (x) =  1/x  +  x/6  +  7x³/360 + ... . Effectivement cette méthode fonctionne , mais je n'arrive pas à retrouver ce résultat comme indiqué, c'est-à-dire en déterminant d'abord le DL de x.f (x) puis en divisant par x.

Bref si quelqu'un pouvait m'aider à passer ce cap, ce serait très aimable, merci d'avance à ceux qui se lanceront dans l'explication de ces concepts plutôt ardus...

[Invité]

Bonjour,

Ce que je crois comprendre.

1/ Pour le DL de g(x)=(x-a)^p f(x). L'auteur se place  sur le plan purement théorique. Par continuité, g(x) prend une valeur finie en a, et on la suppose développable en ce point. Elle y admet donc un DL, où le coefficient du terme en (x-a)ⁿ/n! est g⁽ⁿ⁾(a), c'est à dire la valeur de la dérivée n-ième de g en a (n variant de 0 à ce qu'on veut).

Ensuite en divisant par (x-a)^p on obtient le DL généralisé (on dit aussi asymptotique) cherché.

Mais on reste là sur l'aspect théorique des choses.

2/ Si l'on veut appliquer ça tel quel à 1/sinx, il faut effectivement considérer g(x)=x/sinx, mais ensuite, il faut se coltiner les calcul des dérivées successives et de leurs valeurs en 0. Un vrai désastre...D'autant qu'à chaque fois, forme indéterminée, et utilisation de ...DL pour passer à la limite. Un calvaire qu'on ne souhaite à personne de vivre. Seule consolation, les termes d'ordres impairs sont nuls puisque g est paire.

3/ Dans la pratique on utilise la technique de la division de polynômes selon les puissances croissantes. Ici, on va diviser le polynôme 1 par x-x³/6+x⁵/120+O(x⁷) si on veut s'arrêter à l'ordre 5. Et on obtient très facilement le résultat.

Noter que d'après ce que j'ai pu constater  c'est que cette technique de calcul n'est plus guère enseignée que ce soit en sup ou spé ou en licence. On se demande bien pourquoi.

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Maintenant ce n'est que ma version des choses...

 

[Invité]

J'ajoute un mot. Dans la division des polynômes suivant les puissances croissantes , on suppose que le terme constant du polynôme diviseur n'est pas nul, car  le quotient doit être dans tous les cas un polynôme. Ici, donc, en toute rigueur, il faudrait commencer par diviser 1 par 1-x²/6+x⁴/120+O(x⁶), puis diviser par x ensuite. Au bout du compte le résultat serait évidemment le même, mais il y a, à tout le moins,  un petit abus de langage. 

[C8H10N4O2]

Bonjour JLN et merci de votre réponse

Oui l'auteur en arrive à la même conclusion que vous puisqu'on peut lire en bas de l'extrait que j'ai mis en pièce jointe : " Plutôt que calculer le DL d'ordre 4 de x.f(x) , puis de diviser par x, effectuons la division de 1 par le DL de sin(x) selon les puissances croissantes..."

Je lutte pour comprendre le principe des D.L. en ce moment ainsi que leur utilité dans le cadre de la physique notamment.

Merci de votre contribution !

[Invité]

Bonjour C8H10N4O2,

Le principe ? De quel point de vue ? Leur calcul ? Leur utilité ?

 

[C8H10N4O2]

Oui ma remarque n'était pas claire. Je me demandais très concrètement si l'étude des DL et l'apprentissage de leur calcul faisait encore aujourd'hui partie du cursus d'un ingénieur par exemple, ou si c'est le type de calcul dont le soin est laissé à l'ordinateur, l'ingénieur apprenant plutôt à coder...

[C8H10N4O2]

Pour revenir à ma question initiale, voilà ce que j'ai compris en me creusant un peu les méninges : 

Lorsqu'on veut le DL de f (x) au voisinage de a mais que Lim f (x) =∞ lorsque x-->a, on ne peut appliquer la formule de Taylor puisque f (a) n'existe pas ( donc f n'est pas continue en a, ce qui est un prérequis de la formule). Sur le principe d'un changement de variable, on détermine alors le DL d'une expression (x-a)^p.f (x) qui a elle une limite finie en a : 

a_-p + a_-(p-1). (x-a) + ... + a₀. (x-a)^p + ... + a_n. (x-a)^n+p + (x-a)^n+p .ε(x) , avec Lim ε(x) = 0 quand x --> a 

En divisant par  (x-a)^p , on a f(x) = a_-p / (x-a)^p + a_-(p-1) / (x-a)^p-1 + ... + a₀ + ... + a_n. (x-a)ⁿ + (x-a)ⁿ. ε(x)

Au voisinage de 0, cela donne f(x) = a_-p / x^p + a_-(p-1) / x^p-1 + ... + a₀ + ... + a_n.xⁿ + xⁿ. ε ( x ) 

Et si la limite est elle même infinie, par un changement de variable X= 1/x  , on obtient l'expression : 

f(x) = a_-p.x^p + a_-(p-1).x^p-1 + ... + a₀ + ... + a_n / xⁿ + 1/xⁿ. ε(x) , qui est utilisée pour étudier la nature des asymptotes de f aux infinis et la position de la courbe par rapport à elles...

Je crois que c'est plus clair ce soir, je vais voir si ce sera toujours le cas demain matin ! 

[Invité]

Voilà, c'est bien ça.

L'étude et le calcul des DL font toujours partie du cursus si j'en crois les questions fréquemment posées par les étudiants dans les forums spécialisés.

Mais on ne prétend plus à la virtuosité - au demeurant assez ridicule et inutile- recherchée autrefois. Dans les années 50/60 dans certains exos de DL bien choisis il fallait aller jusqu'à   un ordre élevé (7 par exemple) pour obtenir le premier terme non nul...

De ce point de vue, rien à regretter, mais ce sont toutefois des notions à bien connaître, même si on laisse les calculs fastidieux aux ordinateurs; sinon comment utiliser un outil qu'on ne maîtrise pas ?

Dans le secondaire , on n'apprend plus guère à effectuer les calculs algébriques élémentaires. Résultat, en fac, on bloque sur le moindre calcul.

De même on a supprimé la géométrie  (celle de grand-papa comme disent avec dédain les "modernes") . Résultat, quand on aborde l'algèbre linéaire, plus de support visuel qui aide grandement à se représenter des notions abstraites...

Propos d'ancien combattant dira-t-on...