suite récurrente

[est01]

Bonjour,

J'ai eu un DS sur les suites récurrentes et j'ai eu tout faux à un exercice (maths sup). Or, le professeur ne nous a donné aucun corrigé ni explications. Ainsi, j'aimerai refaire cet exercice et comprendre là où j'ai eu faux.

 

Voici l'énoncé:

Soit(Vn) la suite définie par: V0 complexe et pour tout n, Vn+1=f(Vn) où f:z->1/2(z+1/z)

 

1) Dresser la tableau de variations de f sur R *.

2) Montrer que si V0 est un réel non nul, alors la suite (Vn) est bien définie à valeurs dans R*.

3) Si V0 est un réel strictement positif:

a) Montrer que la suite (Vn) est monotone à partir d'un certain rang que l'on précisera.

b) En déduire que (Vn) converge et préciser sa limite.

 

J'ai eu juste à la première question, et ensuite c'est la catastrophe. Cependant, voici mes réponses:

2) D'après le tableau de variations, pour V0 dans ]0,+inf[, Vn est dans [1;+inf[ et pour V0 dans ]-inf,0[, vn est dans ]-inf,1]. Donc pour tout n, Vn existe et Vn appartient à R*. Je ne comprends pas pourquoi j'ai eu faux.

3)a) Soit v0>0. D'après le tableau (vn) est strictement croissante à partir de n=1. De m^me j'ai eu faux

b) (vn) est strictement croissante et  on majorée donc lim (vn)=+inf

Voilà, si vous pouviez m'expliquer ce qui ne va pas, cela m'aiderait beaucoup. Je vous remercie par avance et vous souhaite un bon week-end.

[pzorba75]

3) il faut considérer que (vn) est minorée par 1, avec les variations de f sur R+ et démonter que (vn) décroit par le signe de v_n+1-v_n=1/2(v_n+1/v_n)-v_n. Une suite minorée, décroissante est une suite convergente admettant une limite l telle que l=1/2(l+1/l) soit l=1.

À rédiger soigneusement, très classique.

[est01]

Merci mais pour 3a), comment je trouve le rang ?

[pzorba75]

Au 3 (v_n) est décroissante. Essaie avec un tableur pour t'en assurer et le démontrer.

[Invité]

Bonjour,

v_n+1-v_n est du signe de 1-(v_n)². Donc si 0<v₀<1, , v₁>v₀ puisque f décroît sur ]0;1]. Par contre v₁=f(v₀) est toujours supérieur à 1 d'après l'étude de la fonction. Il en résulte que la suite est sûrement décroissante dès son deuxième terme.

Ensuite, pour x>1, f est contractante . Elle admet donc un point fixe.