Nombres complexes

[chacha778]

Bonsoir à tous, j'ai un dm à faire mais je bloque un petit peu. J'ai compris mon chapitre mais j'ai du mal pour l'application sur certains exercices, notamment celui-ci.

+Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v) On appelle f l'application qui a tout nombre complexe différent de -2i associe: f(z)= z-2+i / (z +2i)

1. On pose z= x + iy avec x et y deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire e de Z en fonction de x et de y. On pourra montrer que: f(z)= (x²+y²+-2x+3y+2)/(x²+(y+2)² +i(-x+2y+4)/(x²+(y+2)²

2. Trouver a b et c tels que x²+y²-2x+3y+2=(x-a)²+(y-b)²-c

3. En déduire la nature de:

a. l'ensemble E des points M d'affixe z, tels que f(z) soit un réel

b. l'ensemble F des points M d'affixe z, tels que f(z) soit un imaginaire pur, éventuellement nul

c. Représenter ces deux ensembles

Je pensais pour la question 1 du coup remplacé z par x+ iy mais ensuite je fais zbarre et je remplace z par x- iy ? Je ne suis pas bien sûr de moi, ce qui fait que je bloque dès le départ. Merci d'avance pour vos explications et votre aide, bonne soirée !

( Je vais mettre les équations en photo ci dessous car j'ai beau eu essayé de mettre en fraction mais cela ne faisait pas mon résultat..)

 

[Barbidoux]

+Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v) On appelle f l'application qui a tout nombre complexe différent de -2i associe: f(z)= (z-2+i) / (z +2i)
1. On pose z= x + iy avec x et y deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire e de Z en fonction de x et de y. On pourra montrer que: f(z)= (x2+y2+-2x+3y+2)/(x2+(y+2)2 +i(-x+2y+4)/(x2+(y+2)2
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f(z)= (z-2+i) / (z +2i)
on pose z=x+i*y
f(z)= (x+i*y-2+i) / (x+i*y +2i)=(x+i*y-2+i)*(x-i*(y +2))/((x+i*(y +2))*(x-i*(y +2)))=(y^2+3*y+x^2-2*x+2+(i*(4-x+2*y)/(x^2+(y+2)^2)
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2. Trouver a b et c tels que x2+y2-2x+3y+2=(x-a)2+(y-b)2-c
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y^2+3*y+x^2-2*x+2=(x+1)^2+(y+3/2)^2-5/4
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3. En déduire la nature de:
a. l'ensemble E des points M d'affixe z, tels que f(z) soit un réel
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Pour que z soit réel il faut que Im(Z)=i*(4-x+2*y)=0 ==> droite d'équation y=(x-4)/2  privé de {0,-2}

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b. l'ensemble F des points M d'affixe z, tels que f(z) soit un imaginaire pur, éventuellement nul
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Pour que z soit un imaginaire pur éventuellement nul il faut que Re(Z)=0 ==> (x+1)^2+(y+3/2)^2-5/4=0  Cercle de centre Ω{-1,-3/2} et de rayon √5/2 privé de {0,-2}
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c. Représenter ces deux ensembles