calculs limites avec puissances

[est01]

Bonjour, pourriez-vous m'aider pour ces calculs de limites:

lim(1+2/x)^x en 0+, en -2 et en +inf

 

j'ai dit que (1+2/x)^x= e^xln(1+2/x)

mais à partir de là je n'arrive pas à lever l'indétrermination

 

Merci

[Invité]

Bonjour

xln(1+2/x)= xln(x+2)-xln(x) et la limite en 0+ de xln(x) est bien connue...

Pour x tendant vers +, prendre un équivalent de ln(1+2/x)

Enfin, en posant x=-2-u, xln(1+2/x)=-uln(u)-2ln(u)+(u+2)ln(u+2) dont la limite quand u->0+ est facile à trouver (il y a peut-être plus rapide dans ce derbier cas)

[est01]

Bonjour, merci

limite en 0+ de xln(x)=0

limite en 0+ de xln(x+2)=0

limite en 0+ de'( 1+2/x)=1 ?

 

Je ne comprends pas ce qu'est un équivalent..

pourquoi ne pose-t-on pas plutôt x=-2+h? je ne comprends pas comment vous passez d'une égalité à l'autre

 

 

[Invité]

limite en 0+ de ( 1+2/x)^x=1 ? Oui.

Je ne comprends pas ce qu'est un équivalent..Je n'avais pas vu que vous étiez en Terminale. Il y a un marcsa qui poste sur un autre site et qui, lui, est en Maths-Sup. D'où la confusion.

pourquoi ne pose-t-on pas plutôt x=-2+h? je ne comprends pas comment vous passez d'une égalité à l'autre. J'ai posé x=-2-u pour que u soit positif (la fonction n'est pas définie sur ]-2 ;0])    A moins que je ne me soit trompé, j'ai réduit au même dénominateur dans le ln, puis décomposé celui-ci.

Je reviendrai plus tard si personne n'intervient d'ici l.

[Invité]

Pour x tendant vers l'infini. Posons u=1/x, alors u tend vers 0

x*ln(1+2/x)= (ln(1+2/x))/(1/x)=( ln(2u+1)-ln(1))/(u-0) dont la limite est la valeur du nombre dérivé de u->ln(2u+1) en u=0

[est01]

Pour x tendant vers l'infini, lim=e^2 ?

 

[Invité]

Pour x tendant vers l'infini, lim (1+2/x)^x=e², oui. 

[est01]

Merci

et du coup pour la limite en -2 quelle méthode faut-il choisir ?

[Invité]

Pourquoi pas celle que j'ai indiquée ? On pose x=-2-u avec u>0.

x*ln(1+2/x)=-(u+2) ln (1+2/(-u-2))=-(u+2)ln((-u-2+2)/(-u-2))= -(u+2)ln(u/(u+2))= -(u+2)(ln(u)-ln(u+2)) = -u*ln(u)-2ln(u)+(u+2)ln(u+2)

Ensuite, on regarde quelle est la limite de chacun des termes quand u->0. La limite de la somme est la somme des limites, et cette dernière n'est pas indéterminée.

[est01]

LA LIMITE EST ALORS 0 ?

[est01]

PARDON , +inf plutôt

[Invité]

-u*ln(u) tend vers 0 (TH. des croissances comparées)

-2ln(u) tend vers +oo

(u+2)ln(u+2) tend vers 2ln2

Conclusion, la somme tend vers...

[Invité]

Oui, + l'infini.

[est01]

merci beaucoup 

[Invité]

Avec plaisir.

Mais je ne saurai jamais si marsac d'E-bahut et marsac de l'Ile ne font qu'un(e).

[Denis CAMUS]

Sur l'île Marcsa est en math-sup.

Ici, c'est indiqué "terminale" mais elle a posté ça :

http://www.e-bahut.com/topic/50077-équations-différentielles-maths-sup/?tab=comments#comment-190348

[Invité]

Oui, et sur l'Ile c'est un garçon, ici, une fille..