Raisonnement par récurrence

[lili1511]

Bonjour à tous, mon prof de maths nous a donné un petit exercice par rapport au raisonnement de récurrence juste après nous avoir montré un exemple. J'ai compris l'exemple mais je n'arrive pas à résoudre l'exercice qui est : 

"Démontrer par récurrence que pour tout n appartient N ; Un=400x1.2^n+600   avec U0=1000

Soit q appartient N tel que Uq=400x1.2^q+600

....

Donc Uq+1=400x1.2^q+1+600" 

Merci pour votre aide  

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir lili551,

Ton énoncé est incomplet. Impossible de t'aider. Normalement, tu dois avoir dans ton énoncé la forme récurrence de la suite (un). Sans elle impossible de t'aider complétement.

Cela dit, tu pars dans la mauvaise direction car un raisonnement par récurrence se construit en trois phases.

Phase 0 : Définir la propriété de récurrence. Ici, P,n : "Un=400x1.2^n+600"

Phase 1 : l'initialisation. Ici, tu dois vérifier que la propriété est vraie pour la plus petite valeur de n0 désirée. Dans ton exercice, n0=0.

Phase 2 : l'hérédité. Cette fois-ci, tu supposes que la propriété est vraie pour un rang n quelconque. Et tu veux montrer que la propriété est vraie au rang n+1. Donc, cette phase commence par :

Un=400x1.2^n+600

..... et finit par ......

Un+1=400x1.2^(n+1)+600

Phase 3 : tu peux conclure que ta propriété est vraie pour tout entier supérieur ou égal à n0.

 

[lili1511]

Il y a 13 heures, Boltzmann_Solver a dit :

Bonsoir lili551,

Ton énoncé est incomplet. Impossible de t'aider. Normalement, tu dois avoir dans ton énoncé la forme récurrence de la suite (un). Sans elle impossible de t'aider complétement.

Cela dit, tu pars dans la mauvaise direction car un raisonnement par récurrence se construit en trois phases.

Phase 0 : Définir la propriété de récurrence. Ici, P,n : "Un=400x1.2^n+600"

Phase 1 : l'initialisation. Ici, tu dois vérifier que la propriété est vraie pour la plus petite valeur de n0 désirée. Dans ton exercice, n0=0.

Phase 2 : l'hérédité. Cette fois-ci, tu supposes que la propriété est vraie pour un rang n quelconque. Et tu veux montrer que la propriété est vraie au rang n+1. Donc, cette phase commence par :

Un=400x1.2^n+600

..... et finit par ......

Un+1=400x1.2^(n+1)+600

Phase 3 : tu peux conclure que ta propriété est vraie pour tout entier supérieur ou égal à n0.

 

J'ai Un+1=1.2Un-120 si c'est cette forme qui vous manque. Ce que je n'arrive pas à faire c'est la partie hérédité : je ne vois pas quoi faire. 

[Boltzmann_Solver]

Bonjour (comme il s'agit d'un nouveau jour !!),

Oui, c'est cela qui manque.

Ensuite, peux tu déjà faire PROPREMENT les phases 0 et 1. Quand tu maitriseras ça, on verra pour l'hérédité.

[lili1511]

Il y a 3 heures, Boltzmann_Solver a dit :

Bonjour (comme il s'agit d'un nouveau jour !!),

Oui, c'est cela qui manque.

Ensuite, peux tu déjà faire PROPREMENT les phases 0 et 1. Quand tu maitriseras ça, on verra pour l'hérédité.

Effectivement, bonjour. J'ai déjà fais les phases 0 et 1 mais c'est l'hérédité qui pose problème, je ne vois pas comment passer de Un à Un+1, pourtant j'ai essayé en regardant dans mon manuel, sur un livre que j'ai moi même acheté, sur internet enfin bref je suis un peu désespérée là ^^' Est-ce que je dois faire UnUn+1 et ensuite additionner/multiplier ?

[Boltzmann_Solver]

Il y a 3 heures, lili1511 a dit :

Effectivement, bonjour. J'ai déjà fais les phases 0 et 1 mais c'est l'hérédité qui pose problème, je ne vois pas comment passer de Un à Un+1, pourtant j'ai essayé en regardant dans mon manuel, sur un livre que j'ai moi même acheté, sur internet enfin bref je suis un peu désespérée là ^^' Est-ce que je dois faire UnUn+1 et ensuite additionner/multiplier ?

Montre les moi ! Je ne doute pas que tu les aies faites mais je ne lis pas dans ta tête.

Ici, ça ne sera pas en faisant une comparaison car tu ne veux pas les variations de la suite (que tu connais déjà de la 1ere) mais bien sa forme explicite.

L'idée sera de combiner la forme explicite de un (hypothèse de récurrence) avec la définition de la suite (la forme récurrence).