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équations différentielles maths sup


est01

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Bonjour à tous et toutes, j'ai un DM pour lundi et cela fait 1h30 que je bloque dès la première question... 
Voici l'énoncé: 
Soit f une fonction définie sur R à valeurs réelles, 2 fois dérivable, telle que, pour tout réel x: f"(x)-f(-x)=x 
On pose: g(x)=f(x)+f(-x) 

1 a) A l'aide de f et des ses dérivées f' et f'', calcule les dérivées premières et secondes de g. 
b) En déduire que la fonction g vérifié une équation différentielle de second ordre à coefficients constants notée (1). Préciser cette équation. 
c) Déterminer les fonctions paires solutions de (1) 

Pour la a), voici ma réponse: 
f est 2 fois dérivable donc g aussi. 
g'(x)= f'(x)+f'(-x) 
g''(x)= f''(x)+f''(-x) 

À mon avis, c'est faux! Je suis don bloquée... Merci de m'aider...

 

 

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  • E-Bahut

Bonjour,

En effet, c'est faux car tu n'as pas appliqué la dérivée d'une fonction composée. As tu déjà entendu parlé de fonctions composées ? Si oui, as tu vu la formule pour dériver une telle fonction. C'est deux points sont hors programme du lycée. Donc, ça doit être dans les cours de cette année.

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Oui c'est normal je sui en maths sup... C'est un peu dur la première semaine car la prof va extrêmement vite et n'explique rien 

Du coup, est-ce que ça donne ça g'(x)= f'(x)-f'(-x) 
g''(x)=f''(x)+f''(-x) ? 

g"(x) = f "(x) + f "(- x) = x + f(- x) + (- x + f(x) ) = f(- x) + f(x) = g(x) .?

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Voilà ce que j'ai écrit sur mon brouillon: 
D'après a), on a g"(x)-g(x)=0 
Donc g vérifie une ED du 2nd ordre à coefficients constants tq (1): y"-y=0, càd y"-w^2y=0 (avec w=-1) 

Les solutions de cette équation sont de la forme y:x-> Ae^-x+Be^x 
Est-ce juste? 
Mais comment trouver les solutions paires ?

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De même, j'ai la question 2): 
On pose h(x)=f(x)-f(-x)-2x 
a) A l'aide de f et des ses dérivées f' et f'', calcule les dérivées premières et secondes de h. 
b) En déduire que la fonction g vérifie une équation différentielle de second ordre à coefficients constants notée (2). Préciser cette équation. 
c) Déterminer les fonctions impaires solutions de (2) 

Voilà ce que j'ai trouvé: 
a) h'(x)= f'(x)=2f'(-2x)-2 
h"(x)=f"(x)-4f"(-2x)=x-f(-x)-8f"(-x)=x-f(-x)+8x-8f(x) 
Mais je suis bloquée et j'ai le même problème que pour la question 1°

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Or on cherche les solutions paires, tq Ae^x+Be^-x=Ae^-x+Be^x <-> A=B

Donc les fonctions paires solutions de (1) sont x:Ae^x+Ae^-x

 

C'est au niveau de la réaction quelle ne suis pas sûre, je me mélange au niveau des lettres !

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h'(x)=f'(x)+f'(-x)+2 
h"(x)= f"(x)-f"(-x)=x+f(-x)-(-x+f(x))=x+f(-x)+x-f(x)=f(-x)-f(x)+2x 
donc h"(x)=-h(x) 
donc h"(x)+h(x)=0 
Donc hvérifie une ED du 2nd ordre à coefficients constants tq (1): y"+y=0, càd y"+w^2y=0 (avec w=1) 

Les solutions de cette équation sont de la forme y:x-> Asin(x)+Bcos(x) 
Or on cherche une solution impaire donc -h(x)=h(x) 
-Asin(x)-Bcos(x)=Asin(x)+Bcos(x)?
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d'accord merci, j'ai trouvé en fait: la solution est Asin(x)-4x

Mais je ne sais jamais quelle lettre il faut mettre. Par exemple ici, dois-je mettre h:x->Asin(x)-4x ou alors x:Asin(x)-4x ou alors y:x->Sin(x)-4x

Comme ici, Donc hvérifie une ED du 2nd ordre à coefficients constants tq (1): y"+y=0, càd y"+w^2y=0 (avec w=1), dois-je mettre h ou y ?

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Le nom de la fonction est sans importance, le tout est de ne pas en changer et de se conformer à l'énoncé. Ici c'est h, qui vérifie h"(x)+h(x)=-4x. Les solutions impaires sont les fonctions x-> Asinx-4x

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