Urgent!help!

[trougnouc]

Bonjour, aidez moi je n'y arrive pas

Démontrer que parmi les losanges de périmètre p donné, le carré est celui dont l'aire est minimale.

Indications

Poser x et y les diagonales du losange

chercher une relation entre x, y et p

exprimer l'aire S du losange en fonction de p et x, étudier la fonction f définie sur [0;p/2] par f(x)=x au carré/4 ( pcarre/4-xcarre), conclure "

[philippe]

il est dit :

Poser x et y les diagonales du losange

chercher une relation entre x, y et p

quelle relation trouves tu?

[Papy BERNIE]

Bonsoir,

x grande diago et y petite diago.

L'aire du losange est celle de 2 triangles identiques dont la base est x et la hauteur y/2.

Or aire d'un tr. = (base * hauteur ) / 2

Donc S=[ (x*y/2) /2]*2=(xy)/2

d'où : S²=x²y²/4 (1)

Soit "a" le côté du losange. Avec Pythagore :

a²=(x/2)²+(y/2)²=x²/4+y²/4

p=4a donc p²=16a²=16(x²/4+y²/4)=4x²+4y²

qui donne :

soit 4y²=p²-4x² soit y²=p²/4 - x² (2)

On reporte (2) dans (1) :

S²=[x²(p²/4 - x²)] / 4=x²/4 ( p²/4 - x²)

S est la racine carrée de : x²/4 ( p²/4 - x²)

Nous avons donc S² identique à f(x).

Pour la suite... bon courage!!

[Papy BERNIE]

Je continue mais tu as peut-être rendu ton devoir?

f(x) s'écrit : f(x)=-(x^4/4) +x²p²/16

donc f ' (x)=-x^3+xp²/8

soit f ' (x) = - x ( x²- p²/8)

Or x²-p²/8 est l'identité a²-b² donc

f '(x) = - x (x+pV2/4) (x-pV2/4) (V=racine carrée)

f ' (x) >0 si (x-pV2/4)<0 soit si x<pV2/4

et f ' (x) <0 si x>pV2/4 ( car x et x+pV2/4 tjrs >0 dans l'intervalle considéré)

d'où le tableau :

x---------->0----------------------pV2/4......................................p/2

f ' (x)----->0............+..................0......................-......................

f (x)-------->0........ croît..............?....................décroît..............0

f (x) a un maximum pour x=pV2/4 et non un minimum comme tu l'écris.

Si f (x) est maximum, alors l'aire S est aussi maximum .

Si x=pV2/2 , alors le losange est un carré. En effet :

diagonale du carré = côté*V2

Mais côté=p/4 donc diagonale carré =pV2/4

Salut.