Equation différentielle linaire du premier ordre

[Ch00Ch00]

Bonjour,

Je suis bloqué à cet exercice.

Pourriez vous m'aider s'il vous plait, 

 

Merci d'avance pour vos aides, 

 

PS: '' On note (H) ..... '' c'est ce que j'ai commencé à faire. 

[Barbidoux]

j'aurais dit :

1.1--------------
On porte les expressions de y'=f'(t)=(1-t)/√(1+t^2)*exp(-arctan(x)) et y=f(t)=√(1+t^2)*exp(-arctan(x)) dans E0 ==> (t^2+1)y'+(1-t)*y=0
Conclusion k*(1-t)/√(1+t^2)*exp(-arctan(x)) est solution de E0
1.2-------------
On porte les expressions de y'=1 et y=t dans E pour montrer que t est une solution particulière de (E). Conclusion : la solution générale de E est de la forme  k*(1-t)/√(1+t^2)*exp(-arctan(x))+t 

[Ch00Ch00]

Bonsoir Barbidoux, 

Merci pour votre aide. J'essaye de comprendre ce que vous avez écrit, Pourquoi avez vous posé y = V(1+t^2)*exp(-arctan(x)) ? 

J'ai essayé de résoudre l'exercice.

J'ai posé a et b avec a,b appartenant à R

Puis b/a .... j'ai appliqué l'intégrale ln et exponentielle. Je retombe sur le même résultat dans l'énoncé. J'ai aussi dit que e^c est une constante positive, donc elle " devient " k appartenant à R.

La solution particulière de l'équation E0: k(V(1+t^2)*exp(-arctan(x))) avec k appartenant à R. 

Ai-je bon ? 

Merci d'avance pour votre aide, 

[Barbidoux]

E est bien un équation linéaire du premier ordre sur R puisque (1+t^2)≠0.
On veut montrer que f(t)=√(1+t^2)*exp(-arctan(x)) est une solution de l'équation homogène associée à l'équation différentielle (E). Il suffit de poser y=f(t) et y'=f'(t) et remplacer ces expressions dans l'équation de  E0 (E sans second  membre) pour vérifier que f(t) que f(t) et plus généralement les foncions k*f(t) sont solution de E0.

Une solution particulière de E est g(t)=t puisque y=t vérifie E. On en déduit que la solution générale de E est donc de la forme k*f(t)+t et en portant cette solution dans E on constate que seul la valeur k=1 convient et la solution de E est donc √(1+t^2)*exp(-arctan(x))+t

[Ch00Ch00]

Merci beaucoup pour vos explications très claires Barbidoux.

Bonne soirée,