Continuité & Dérivabilité

[Ch00Ch00]

Bonsoir, 

J'ai deux exercices à faire mais je suis bloqué.

Soit f(x) = (x-1)/(x^4 - 1) avec x appartenant à R privé de (-1;1)

                 0 si x = -1

                 1/4 si x = 1 

1) Etudier la continuité de la fonction f

• continuité en 1:

lim (x tend vers 1+)  (x-1)/(x^4) = 1/4

lim (x tend vers 1+)  (x-1)/(x^4) = 1/4

(D'après l'énoncé)

Donc f est continue en 1

• continuité en -1:

lim (x tend vers -1-) = lim (x-1) * lim (1/(x^4 -1))

Or lim (x tend vers -1-)  (x-1) = -2  et lim (x tend vers -1+) (x^4 -1) = 0

Donc lim (x tend vers -1-) = lim (x-1) * lim (1/(x^4 -1)) = lim (x-1)/(x^4) = -oo

 

lim (x tend vers -1+) = lim (x-1) * lim (1/(x^4 -1))

Or lim (x tend vers -1+)  (x-1) = -2  et lim (x tend vers -1+) (x^4 -1) = 0

Donc lim (x tend vers -1+) = lim (x-1) * lim (1/(x^4 -1)) = lim (x-1)/(x^4) = oo

Donc f n'est pas continue en -1 on en déduit que f est non dérivable

 

2) Etudier la dérivabilité de la fonction f

• Etude de la dérivabilité en 1

f(1) = 0

f'(x) = lim (x tend vers x0)  ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) ) 

pour x0 = 1

lim ( x tend vers 1) = lim ( (x - 1) / (x^4) ) / (x -1) = lim 1/ (x^4 - 1) = oo 

Donc f est non dérivable en 1.

 

PS: Je voudrais savoir pour la limite en 1 (continuité), je voudrais savoir si je dois dire d'après l'énoncé ou je dois le démontrer avec les polynômes (factorisation sur R)

Est-ce que j'ai bon ? 

Merci d'avance, 

[Barbidoux]

La fonction f(x)=(x-1)/(x^4-1) définie su R\{-1,1}
- n'est pas continue en -1 car lim f(-1^-) ≠ lim f(-1⁺)
-  est  continue en  1 car lim f(1^-)=lim f(1⁺)
-----------
f(x)=(x-1)/(x^4-1)=1/((x^2+1)*(x+1))
Elle n'est pas dérivable en -1  car pas continue en -1
Elle est  dérivable en 1 car f'(x) lorsque x->1^- =  f'(x) lorsque x->1⁺ et f'(x)=-(3*x^2+2*x+1)/(x^3+x^2+x+1)^2  et le nombre dérivé en 1 vaut f'(1)=-3/8

[Ch00Ch00]

il y a 50 minutes, Barbidoux a dit :

La fonction f(x)=(x-1)/(x^4-1) définie su R\{-1,1}
- n'est pas continue en -1 car lim f(-1^-) ≠ lim f(-1⁺)
-  est  continue en  1 car lim f(1^-)=lim f(1⁺)
-----------
f(x)=(x-1)/(x^4-1)=1/((x^2+1)*(x+1))
Elle n'est pas dérivable en -1  car pas continue en -1
Elle est  dérivable en 1 car f'(x) lorsque x->1^- =  f'(x) lorsque x->1⁺ et f'(x)=-(3*x^2+2*x+1)/(x^3+x^2+x+1)^2  et le nombre dérivé en 1 vaut f'(1)=-3/8

Bonsoir Barbidoux, 

Merci beaucoup pour votre aide, est-ce que la rédaction était bonne s'il vous plaît ? 

Merci,

[Barbidoux]

Il y a 15 heures, Ch00Ch00 a dit :

Bonsoir, 

J'ai deux exercices à faire mais je suis bloqué.

Soit f(x) = (x-1)/(x^4 - 1) avec x appartenant à R privé de (-1;1)

                 0 si x = -1

                 1/4 si x = 1 

1) Etudier la continuité de la fonction f

• continuité en 1:

lim (x tend vers 1-)  (x-1)/(x^4-1) = 1/4

lim (x tend vers 1+)  (x-1)/(x^4-1) = 1/4

f(1)=1/4 (D'après l'énoncé)

Donc f est continue en 1

• continuité en -1:

lim (x tend vers -1-) = lim (x-1) * lim (1/(x^4 -1))

Or lim (x tend vers -1-)  (x-1) = -2  et lim (x tend vers -1+) (x^4 -1) = 0

Donc lim (x tend vers -1-) = lim (x-1) * lim (1/(x^4 -1)) = lim (x-1)/(x^4) = -oo

 

lim (x tend vers -1+) = lim (x-1) * lim (1/(x^4 -1))

Or lim (x tend vers -1+)  (x-1) = -2  et lim (x tend vers -1+) (x^4 -1) = 0

Donc lim (x tend vers -1+) = lim (x-1) * lim (1/(x^4 -1)) = lim (x-1)/(x^4) = oo

Donc f n'est pas continue en -1 on en déduit que f est non dérivable en x=-1

Cet exo me pose un petit problème de compréhension car je ne vois pas pourquoi  la valeur 1 est exclue du domaine de définition de la fonction car f(x)=(x-1)/(x^4-1) =1/((x^2+1)*(x+1)) est selon moi définie en 1. Je pense que  f(1+)=f(1-) et f(1)=0 permet d'affirmer que f(x) est continue en 1. Comme f'(1+)=f'(1-) on peut en déduit que f(x) est dérivable en 1 mais il y a peut être une subtilité qui m'échappe .... Par contre f(x) étant discontinue en -1 n'est pas de dérivable en -1