Espace vectoriel

[maelys-92]

Voila l exercice qui me pose problème :

Soit E = R3,  la droite vectorielle engendrée par le vecteur ( - 1, 1, 0) et

F={ (x, y, z )} appartient à E | 2 x - y - z= 0 }

Montrer que F (+)G= E

( F et G sont supplémentaires) 

 

J' ai vu comme méthode qu'il faut montrer que  F inter G est nulle 

Et il faut demontrer egalement que                          F+G= R3

Et c est la que mon problème se pose car dans mon cours le procedé pour demontrer ceci est de montrer tout d abord que F+G inclu ds R3 puis R3 inclu dans F+G et ainsi on démontre l'égalité.

 

Mais dans la correction de mon exercice mon prof utilise les dimensions et rédige beaucoup. Et ne traite pas l'exercice avec la méthode vu en cours.

Cette exercice est il realisable avec la méthode vu en cours car je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide, 

Cordialement Maelys.

[patmarechal]

Bonsoir !

Oui, la technique du cours marche. L'inclusion F+G inclus dans R3 est triviale, il te reste à démontrer la deuxième.

Pour cela procède par analyse-synthèse, c'est à dire, commence par prendre un triplet de réels (a,b,c) et suppose qu'il existe des réels x, y, z, t tels que

a = x - t, b = y+t, c = z et 2x-y-z =  0. Tu as x = a+t, y = b-t et z = c soit en injectant dans la dernière égalité, 2(a+t) - (b-t) -c = 0 soit t = (-2a+b+c)/3.

Ensuite, tu n'as plus qu'à exprimer x, y et z en fonction de a, b et c : x = a+t = (a+b+c)/3, y = b-t = (2a+2b-c)/3, z = c. Tu as trouvé l'unique solution potentielle.

Il faut faire une synthèse pour conclure et montrer que les réels x, y, z et t que tu as trouvé sont bien conformes à tes attentes, c'est à dire que tu as bien a = x-t, b = y + t, c = z et 2x-y-z  = 0.