Devoir correction

[mina1516151]

Exercice 1 

Répondre par vrai ou faux et justifier.

1 Soit AXMT un quadrilatère tel que AX = MT.

a) AXMT un parallélogramme.

b) AXTM un parallélogramme. 

c) On a XA = TM.

2 Soit BUDZ un parallélogramme. 

a) On a BU + BZ = BD

 b) On a BZ + DU = O

c) On a BU + ZD = O

 

3 Dans un repère (O ; i , j ), A(−5 ; 0) ; B(1; 2) et C(4 ; 3).

a) Les vecteurs AB et AC sont colinéaires. 

b) On a BA = −2BC .

                      3 

c) On a AB= 2AC.

Exercice 2 (4 points)

 

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme de centre O. Le point G est le centre de gravité du triangle ACD. Le point I est le milieu de [CD] et E est le symétrique de B par rapport à C.

1 À l’aide d’une figure, faire une conjecture sur les points et traduire cette conjecture à l’aide des vec- teurs.

2 Exprimer AE et AG en fonction de BA et BC. On pourra admettre que AG = 3 AI .

3 Conclure.

Exercice 3 

Dans le plan muni d’un repère (O ; I, J), on considère les points A(1; 4), B(−1; −1), C(5 ; 0)et M 7 ; 8 .

On note K le milieu de [AB] et D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. 1 Déterminer les coordonnées de K.
2 Montrer que A, M et C sont alignés.
3 Déterminer les coordonnées de D.

4 Montrer que K, M et D sont alignés.
5 Que représente M pour le triangle ABD?

Exercice 4 

Dans le plan muni d’un repère (O, I, J),on considère les points A(2;5), B(9;5), C(7;3) et D tel que [AC] et [BD] aient le même milieu. Le point G est le centre de gravité du triangle AEC.

1 Dans cette question, E est le point de coordonnées (3 ; –5). Montrer que G est aussi le centre de gra- vité du triangle BDE. On pourra admettre que le point G est le centre de gravité du triangle MNP si et seulement si : GM+ GN+GP = 0.
2 Désormais, E est un point quelconque du plan. On note ses coordonnées. Montrer que le résultat de la  question précédente se généralise. 

 

Exercice 1

1) a) Faux, pour que AXMT soit un parallélogramme il faudrait que le vecteur AX soit égale au vecteur TM.

b) Vrai, car si le vecteur AX est égale au vecteur MT alors AXTM est un parallélogramme.

c) Vrai, vecteur XA = vecteur TM est égale à vecteur AX = vecteur MT car –vecteur AX = -vecteur MT = vecteur XA = vecteur TM.

2) a) Vrai, car vecteur BU + vecteur BZ = vecteur ZD + vecteur BZ donc vecteur BU + vecteur BZ = vecteur BD.

b) Vrai, car vecteur BZ + vecteur DU = vecteur UD + vecteur DU donc 0.

c) Faux, car vecteur BU + vecteur ZD = ZD2

3) a) Le vecteur AB a pour coordonnées (xB-xA ;yB-yA)

AB (1+5 ; 2-0)

AB (6 ; 2)

Le vecteur AC a pour coordonnées (xC-xA ; yC-yA)

AC (4+5 ; 3-0)

AC (9 ; 3)

(xB-xAyC-yA)-(xC-xAyB-yA) = 0

(63)-(92) = 18-18 = 0

Donc vrai.

 

 

Exercice 2 :

1)

2) AG = AB + BC + CG

AG = AB + BC + 2/3 CI

AG = AB + BC + 2/3 (CD + DI)

ABCD parallélogramme donc CD = BA et DI=IA

AG = AB + BC + 2/3 (BA + IA)

IA = 1/2DC or DC = CB

AG = AB + BC + 2/3 (BA + 1/2 CB)

AG = AB + BC + 2/3 BA + 1/3 CB

AG = 1/3 AB + 2/3 BC

 

 

3) ABCD st un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu.

Soit I le milieu de ce parallélogramme donc milieu de [AC] et [BD]

Quelque soit la position du point E, hors des droites (AC) et (BD) ,IE est une diagonale commune aux deux triangles ACE et BDE

Conclusion: Si G est le centre de gravité de  l'un, il est le centre de gravité de l'autre.

 

 

Exercice 3)

1) K est le milieu de [AB]

xK = xA+xB/2 = 1-1/2 = 0/2 = 0

yK = yA+yB/2 = 4-1/2 = 3/2

Les coordonnées de K sont (0 ; 3/2)

2) Les coordonnées de AM sont (xM-xA ; yM-yA)

AM = (7/3-1 ; 8/3-4)

AM = (7/3-3/3 ; 8/3-12/3)

AM = (4/3 ; -4/3)

Les coordonnées de AC sont (xC-xA ; yC-yA)

AC = (5-1 ; 0-4)

AC = (4 ; -4)

AM = AC*1/3

Donc les points A, M et C sont alignés.

3) Si ABCD est un parallélogramme alors les vecteurs AB et DC sont égaux.

Le vecteur AB a pour coordonnées (-2 ; -5)

Et le vecteur DC a pour coordonnées (5-x ; y)

Donc -2 = 5-x et -5 = y

x = 5 + 2 et y = 5

x = 7

D a pour coordonnées (7 ; 5).

4) K a pour coordonnées (0 ; 3/2)

M a pour coordonnées (7/3 ; 8/3)

D a pour coordonnées (7 ; 5)

KM = (xM-xK ; yM-yK)

KM = (7/3-0 ; 8/3-3/2)

KM = (7/3 ; 16/6-9/6)

KM = (7/3 ; 7/6)

KM = (7/3 ; 3,5/3)

KM a pour coordonnées (7/3 ; 3,5/3).

KD = (xD-xK ; yD-yK)

KD = (7-0 ; 5-3/2)

KD = (7 ; 10/2-3/2)

KD = (7 ; 7/2)

KD a pour coordonnées (7 ; 7/2).

KD*1/3 = (7 ; 7/2)*1/3 = (7*1/3 ; 7/2*1/3) = (7/3 ; 7/6) = (7/3 ; 3,5/3) = KM

Les vecteurs KM et KD sont colinéaires, les points K, M et D sont donc alignés.

5) Le point M représente le centre du cercle circonscrit au triangle ABD.

 

 

Exercice 4)

notons v(0) le vecteur nul, v(XY) le vecteur XY et (x(H);y(H)) les coordonnés du point H dans le repère (O,I,J).

1) montrons que G est le centre de gravité du

Triangle BDE.

Cela reviens à montrer que v(GB)+v(GD)+v(GE)=v(0).

Les inconnus sont G et D.

Cherchons les coordonnées de G et D.

G centre de gravité de AEC alors

v(GA)+v(GE)+v(GC)=v(0).

D'après Chasles :

v(GE)=(v(AE)+v(CE))/3.

v(AE) (1;-10); v(CE) (-4;-8) alors v(GE) (-1;-6)

Ensuite G(4;1);

Soit P le centre de [AC] on a x(P)=((x(A)+x(C))/2

y(P)=((y(A)+y(C))/2. Alors P(9/2;4).

P est aussi milieu de [BD] donc  D=(0;3).

 x(D)=((x(B)+x(D))/2

y(P)=((y(B)+y(D))/2

Ainsi on trouve v(GB) =(5;4) v(GD)= (-4;2).

2)On a v(GA)+v(GE)+v(GC)=v(0)

D’apres chasles

v(GE)=(v(BE)+v(DE))/3.

v(BE) (1;-10); v(DE) (-4;-8) alors v(GE) (3;-6)

Alors v(GB)+v(BA)+v(GE)+v(GD)+v(DC)=v(0)

D'où v(GB)+v(GE)+v(GD)=v(0) car v(BA)+v(DC)=v(0)

Donc E est centre de gravité de BED .

Merci de prendre du temps pour corriger ma copie et je n'arrive pas non plus a faire la figure a l'exercice 2 

Merciiiiiiiiii

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,
Pour une correction efficace, il faudrait différentier les vecteurs des longueurs dans les énoncés. J'avais tapé la correction du premier et en lisant tes réponses, je pense qu'il s'agissait de vecteurs et non de longueurs.
 

Pas le courage de reprendre maintenant.

À ce soir si personne ne t'aide avant.

[mina1516151]

Personne?

[Boltzmann_Solver]

il y a 19 minutes, mina1516151 a dit :

Personne?

Il me semble t'avoir répondu ! Pourrais tu mettre des vecteurs là où il faut dans les énoncés (comme tu as fais avec tes "vecteur").

[Boltzmann_Solver]

De plus, je viens de lire "ta" proposition, il semblerait que ça ne vienne pas de toi (la rédaction change beaucoup entre les exercices).

[Boltzmann_Solver]

Et zut, j'ai cru que tu étais sérieuse...

- https://www.devoirs.fr/2nde/mathematiques/devoir-n4-2nde-cned-263638.html

- https://nosdevoirs.fr/devoir/728790

Je passe mon tour. Je t'aiderai quand tu auras cherché au delà de google.