DM sur les équations du second degré et sur les vecteurs

[Aaseab]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour ces exercices, pouvez vous m'expliquer ce que je dois faire?

Exercice 1:

1- Soit f une fonction trinome sur tous les réels par f(x)=ax^2+bx+c ( a différent de 0 et c trois réels). On note ∆ le discriminant associé à ce trinome et on suppose ∆ ≥ 0. Notons x1 et x2 les deux racines, éventuellement confondues du trinome f. On pose S=x1+x2 et P=x1x2. Démontrer que S=-b/a et P=c/a.

2-Soient x1 et x2 deux nombres réels connus. Notons S leur somme et P leur produit. Démontrer que x1 et x2 sont les solutions de l'équation x^2-Sx+P=0

a- Connaissant la racine x1, calculer la seconde racine x2 des trinomes suivants:

     f(x)=3x^2-14x+8 et x1=4                     g(x)=7x^2+23x+6 et x1=-3

          h(x)=mx^2+(2m+1)x+2  et  x1=-2  (m désigne un paramètre réel non nul)

b-   Pour chacun des trinomes suivants, trouver une racine x1 entière, comprise entre -2 et 2 (on l'appelle "racine évidente") puis en déduire la deuxième racine.

 f(x)=2x^2+11x-13        g(x)=-3x^2-5x+2           h(x)=x^2+(1-√5)x- √5

3-Déterminer les dimensions d'un rectangle dont le perimètre est égal à 252 cm et l'aire vaut 35,69 dm^2

Exercice 2:

David a fabriqué un mobile à installer au-dessus du lit de sa fille. Celui-ci est constitué d'une tige en métal de 40 cm, materialisé par le segment [AB], sur lequel pendent un triangle et un disque à chaque extremité. (voir piece jointe)

Le triangle pèse 1 décagramme et le disque 3 décagrammes.

1-Voulant installer le mobile à un fil attaché au plafond, il accroche le fil au milieu de la tige. Le mobile est-il d'aplomb? Si non, de quel coté penche t'il?

2-David se renseigne alors auprés d'un ami professeur de physique qui lui explique qu'il faut accrocher le mobile en un point G tel que:

                                                m1(vec)GA+m2(vec)GB=(vec)0

ou m1 et m2 sont les masses respectives du triangle et du disque, en décagrammes.

i- Expliquer pourquoi G appartient à (AB)

ii- Exprimer (vec)AG en fonction de (vec)AB

iii-Tracer le segment [AB] à l'echelle 1:10 et y placer G

Exercice 3:

Propriété et définition: Quand on considère deux points distincts A et B du plan et deux réels a et b non nuls tels que leur somme soit aussi non nulle, alors il existe un unique point G vérifiant l'égalité vectorielle:

                            a(vec)GA+b(vec)GB=(vec)0

On appelle a et b les masses respectives des points A et B. Le point G défini par a(vec)GA+b(vec)GB=(vec)0 est alors appelé barycentre des points pondéres (A;a) et (B;b)

 

 

Soient A et B deux points distincts. Soient a, b deux réels tels que a+b≠0. Soit G le barycentre des points pondéres (A;a) et (B;b)

1-Démontrer que, pour tout point M du plan, on a la relation: a(vec)MA+b(vec)MB=(a+b)(vec)MG

2-Un cas particulier: quel est le barycentre des points ponderés (A;1) et (B;1) ? Justifier.

3-Soit k un réel non nul. Soit G' le barycentre des points pondérés (A;k*a) et (B;k*b). Montrer que les points G et G' sont confondus.

4-Soit G le barycentre des points ponderés (A;2) et (B;3).

Dans la suite, on justifiera les étapes de construction. On pourra utiliser des couleurs différentes et une légende pour plus de clarté...

i) Réaliser une figure, en prenant AB=12cm

ii) Placer le point N barycentre des points (A;-26) et (B;-39)

iii) Placer les points P vérifiant l'égalité vectorielle 2(vec)PA+3(vec)PB=1/2(vec)AB

iv)Tracer l'ensemble des points C vérifiant l'égalité:  II 2(vec)CA+3(vec)CB II=AB

v) Tracer l'ensemble des points D vérifiant l'égalité:  II 2(vec)DA+3(vec) DB II =5DB

Merci d'avance

 

[pzorba75]

Pour démarrer 

2-Soient x1 et x2 deux nombres réels connus. Notons S leur somme et P leur produit. Démontrer que x1 et x2 sont les solutions de l'équation x^2-Sx+P=0

a- Connaissant la racine x1, calculer la seconde racine x2 des trinomes suivants:

     f(x)=3x^2-14x+8 et x1=4                     g(x)=7x^2+23x+6 et x1=-3

          h(x)=mx^2+(2m+1)x+2  et  x1=-2  (m désigne un paramètre réel non nul)

Dans un trinôme du second degré ax^2+bx+c=0, le produit des racines, quand elles existent, est égal à c/a; Connaissant une racine x₁, il est simple et rapide de calculer la seconde racine x₂ en appliquant x₁x₂=c/a.

Au travail.

Sans voir tes réponses tapées au clavier et mises en forme correctement, je n'interviendrai plus sur ce fil.

 

[Aaseab]

Voici ce que j'ai trouvé aux questions 1 et 2:

1-
-On sait que S=x1+x2, or
    x1=(-b+√Δ)/2a  et x2=(-b-√Δ)/2a
Donc S=x1+x2=((-b+√Δ)+(-b-√Δ))/2a
                          =(-2b)/(2a)
                          =-b/a
Donc S=-b/a
                      
-On sait que P=x1x2, or
    x1=(-b+√Δ)/2a  et x2=(-b-√Δ)/2a
Donc P=x1x2=(b^2-Δ)/4a^2
Si on remplace Δ par b^2-4ac, on obtient x1x2=(b^2-b^2-4ac)/4a^2
                                                                                      =(-4ac)/(4a^2)
                                                                                      =c/a
Donc P=c/a
2- x^2-Sx+P=0
     x^2+(b/a)x+(c/a)=0
     ax^2+bx+c=0
On retrouve f(x), or comme on suppose que Δ≥0, il y a trois solutions possibles: x1 et x2 car Δ peut etre positif ainsi que -b/(2a) car Δ peut etre égal à 0.

 

[Aaseab]

Qu'est ce que vous en pensez?

[pzorba75]

Si tu as fait ce travail tout seul, c'est très bien.

[Aaseab]

Merci, si ca ne vous dérange pas pouvez vous m'aider pour la suite de l exercice 1, sans le donner les réponses bien sur, juste en m'indiquant la démarche a suivre.

[pzorba75]

Soit L la longueur et h la hauteur du rectangle . L'énoncé donne 2*(L+h) =252 et L*h=35,69*100. Soit 2 équations pour deux inconnues L et h que tu peux résoudre si tu as bien compris les questions précédentes.

À toi de travailler.

[Aaseab]

J'ai essayé toute la journée mais je n'ai pas compris. Est ce que je dois utiliser un systeme de deux equations ou changer 2 *(L+h) =252 en trinome du second degré: √(2L)^2+2h-252=0  ?

[pzorba75]

Regarde dans ton livre au chapitre sur les équations du second degré, tu y trouveras surement comment résoudre une équation de la forme X^2-SX+P=0 avec S=L+h et P=L*h. Du classique dans presque tous les livres.