Problèmes de glaces

[natouil]

Bonjour,

Je me lance avec mes élèves dans les problèmes avec arbre à choix et j'ai du mal à préparer une explication claire pour résoudre celui là "Le marchand de glaces a 4 parfums de glace différents; combien peut-il faire de glaces de 4 boules ?"

Merci pour votre aide,

Nathalie

[Denis CAMUS]

Bonsoir,

L'ordre n'a pas d'importance, et je suppose qu'il peut y avoir répétition. En surfant un peu, je m'aperçois que ce n'est pas simple et qu'il y a sauf erreur 85 possibilités. L'arbre va devenir une forêt.

J'ai trouvé de l'aide ici :

http://www.ilemaths.net/sujet-denombrement-cornets-de-glace-432472.html et

https://fr.wikipedia.org/wiki/Combinaison_avec_répétition

[CitronVert]

L'article Wikipédia est très bien. Le nombre de combinaisons k parmi n avec répétition est le nombre de combinaisons k parmi n+k-1 sans répétition. Comme justification intuitive, il y a la quatrième démonstration, mais je doute que les élèves trouvent ça clair. En utilisant la formule dans ce cas précis, on trouve 35.

Par contre on voit assez facilement une relation de récurrence. En posant M(B,N) le nombre de combinaisons de B boules parmi N parfums, on a M(B,N+1) = la somme de M(b,N) pour b de 0 à B. En effet, si on rajoute un parfum, il suffit de poser b le nombre de boules choisi de ce nouveau parfum et on a B-b autres boules à répartir parmi les N parfums. 

Même sans connaître la formule exacte, on peut donc dresser un tableau pour obtenir le résultat. La colonne B=1 est évidente, et on peut obtenir les colonnes suivantes en faisant la somme des nombres de la colonne précédente.

N=4    4    10    20   35

N=3    3     6     10   15

N=2    2     3      4     5

N=1    1     1      1     1

        B=1  B=2  B=3  B=4