oceane.batard Posté(e) le 18 septembre 2016 Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 Bonjour, pourriez-vous m'aider à cette question? "Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, Un+1>Un." On sait que Pn : Un = 0.5Un-1 + 0.5n - 2 ; avec U3=-0.75 et U4=-0.375 Initialisation : On vérifie que P4 est vraie, c'est-à-dire que U4=-0.375 > U3=-0.75 ; donc P4 est vraie. Hérédité : On suppose que Pn est vraie pour tout n>=3; c'est-à-dire que Un+1>Un On vérifie que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que Un+2 > Un+1 <=> Un+2 - Un+1 > 0 <=> 0.5Un+1 + 0.5n - 1 - Un+1 > 0 <=> -0.5Un+1 + 0.5n -1 >0 <=> Un+1 - n + 2 < 0 <=> 0.5Un + 0.5n - 1.5 - n + 2 < 0 <=> 0.5Un - 0.5n + 0.5 < 0 <=> Un - n + 1 < 0 Je ne sais pas comment démontrer que ceci est juste...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 18 septembre 2016 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 il y a 11 minutes, oceane.batard a dit : Bonjour, pourriez-vous m'aider à cette question? "Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, Un+1>Un." On sait que Pn : Un = 0.5Un-1 + 0.5n - 2 ; avec U3=-0.75 et U4=-0.375 Initialisation : On vérifie que P3 est vraie, c'est-à-dire que U4=-0.375 > U3=-0.75 ; donc P4 est vraie. Hérédité : On suppose que Pn est vraie pour tout n>=3; c'est-à-dire que Un+1>Un On cherche à montrer que que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que Un+2 > Un+1 Tu as tord dès la première ligne car tu pars de la réponse (admise de manière implicite comme vraie).Tu dois partir de Pn et reconstruire Pn+1 en utilisant les opérations sur les inégalités. Ca se fait en 3 lignes à peine. <=> Un+2 - Un+1 > 0 <=> 0.5Un+1 + 0.5n - 1 - Un+1 > 0 <=> -0.5Un+1 + 0.5n -1 >0 <=> Un+1 - n + 2 < 0 <=> 0.5Un + 0.5n - 1.5 - n + 2 < 0 <=> 0.5Un - 0.5n + 0.5 < 0 <=> Un - n + 1 < 0 Je ne sais pas comment démontrer que ceci est juste... Bonjour océane, Voir la correction.
oceane.batard Posté(e) le 18 septembre 2016 Auteur Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 il y a 27 minutes, Boltzmann_Solver a dit : Bonjour océane, Voir la correction. Si je dis que: "On suppose que Pn est vraie pour tout n3; cad que Un+1>Un On veut montrer que Pn+1 est vraie, cad que Un+2>Un+1 Or Un+1>Un donc Un+2>Un+1>Un" C'est juste, ou ce n'est pas suffisant?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 18 septembre 2016 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 il y a 2 minutes, oceane.batard a dit : Si je dis que: "On suppose que Pn est vraie pour tout n3; cad que Un+1>Un On veut montrer que Pn+1 est vraie, cad que Un+2>Un+1 Un+1>Un ==> Un+2>Un+1>Un" C'est juste, ou ce n'est pas suffisant? Non, tu n'as rien démontré. Tu as juste affirmé que c'est vrai.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 18 septembre 2016 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 Tu dois construire Un+2 > Un+1 en utilisant les opérations suivantes. - a > b <==> a + c > b + c - a > b <==> a - c > b - c - a > b <==> ac > bc ssi c > 0 - a > b <==> ac < bc ssi c < 0 - a > b <==> a/c > b/c ssi c > 0 - a > b <==> a/c < b/c ssi c < 0
oceane.batard Posté(e) le 18 septembre 2016 Auteur Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 il y a 20 minutes, Boltzmann_Solver a dit : Tu dois construire Un+2 > Un+1 en utilisant les opérations suivantes. - a > b <==> a + c > b + c - a > b <==> a - c > b - c - a > b <==> ac > bc ssi c > 0 - a > b <==> ac < bc ssi c < 0 - a > b <==> a/c > b/c ssi c > 0 - a > b <==> a/c < b/c ssi c < 0 Désolé, mais je ne vois pas comment appliquer ça...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 18 septembre 2016 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 Tu as Un+1 et tu dois arriver à Un+2 = 0,5Un+1 + 0,5(n+2) - 2. Donc, tu dois réaliser des opérations pour passer de Un+1 à 0,5Un+1 + 0,5(n+2) - 2.
oceane.batard Posté(e) le 18 septembre 2016 Auteur Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 Est-ce que ça c'est bon? [...] Or Un+1>Un <=> 0.5Un + 0.5n -1.5> 0.5Un-1 + 0.5n -2 <=> 0.5Un+1 + 0.5(n+1) - 1.5 > 0.5Un + 0.5(n+1) -2 <=> 0.5Un+1 +0.5n -1 > 0.5Un + 0.5n -1.5 <=> Un+2 > Un+1
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 18 septembre 2016 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 il y a 5 minutes, oceane.batard a dit : Est-ce que ça c'est bon? [...] Or Un+1>Un <=> 0.5Un + 0.5n -1.5> 0.5Un-1 + 0.5n -2 <=> 0.5Un+1 + 0.5(n+1) - 1.5 > 0.5Un + 0.5(n+1) -2 <=> 0.5Un+1 +0.5n -1 > 0.5Un + 0.5n -1.5 <=> Un+2 > Un+1 Ca n'a aucun sens ! Tu remplaces Un+1 par son expression mais tu vois bien que ça ne donnera jamais du n+2 car tu n'as pas le droit d'ajouter +1 aux indices. Ce que tu fais s'appelle un changement du variable mais tu n'as pas changé la variable. En clair, tu as écrit que n = n+1 à la ligne 3, ce qui est faux. Si ce genre de raisonnement était correct , ton premier post aurait été juste. Donc, tout est faux. Je t'ai dit de faire des opérations. Donc à chaque ligne, je veux que tu me dises quelle opération tu fais. Ce que tu aurais du comprendre, c'est que : (A partir de là, je rédige en fonction des infos du ton post comme tu n'as pas vraiment recopié ton sujet....) Soit la suite (un)n telle que Un+1 = 0.5Un + 0.5(n+1) - 2 ; avec U3=-0.75 et U4=-0.375. Soit la propriété Pn : Un+1 > Un. Initialisation P3 <==> U3+1 > U3 <==> -0,375 > -0,75 (Vrai). Donc, la propriété Pn est vraie au rang 3. Hérédité. On suppose que Pn est vraie au rang n. Cad que Un+1>Un On veut montrer que Pn+1 est vraie, cad que Un+2>Un+1 Un+1 > Un <==> 0,5 Un+1 > 0,5*Un (On multiplie par un nombre non nul. Donc, on ne change pas le sens de l'inégalité). <==> 0,5 Un+1 + 0,5*(n+2) - 2> 0,5*Un + 0,5*(n+2) - 2 (On ajoute la même quantité à une égalité). <==> Un+2 > 0,5*Un + 0,5*(n+1) + 1 - 2 < 0,5*Un + 0,5*(n+1) - 2 (Transitivité de l'inégalité) <==> Un+2 > Un+1 Donc, Si Pn est vrai alors Pn+1 est vrai également. Conclusion. Par récurrence, on a montré que Pn est vrai pour TOUT n=>3.
oceane.batard Posté(e) le 18 septembre 2016 Auteur Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 Il y a 1 heure, Boltzmann_Solver a dit : Ca n'a aucun sens ! Tu remplaces Un+1 par son expression mais tu vois bien que ça ne donnera jamais du n+2 car tu n'as pas le droit d'ajouter +1 aux indices. Ce que tu fais s'appelle un changement du variable mais tu n'as pas changé la variable. En clair, tu as écrit que n = n+1 à la ligne 3, ce qui est faux. Si ce genre de raisonnement était correct , ton premier post aurait été juste. Donc, tout est faux. Je t'ai dit de faire des opérations. Donc à chaque ligne, je veux que tu me dises quelle opération tu fais. Ce que tu aurais du comprendre, c'est que : (A partir de là, je rédige en fonction des infos du ton post comme tu n'as pas vraiment recopié ton sujet....) Soit la suite (un)n telle que Un+1 = 0.5Un + 0.5(n+1) - 2 ; avec U3=-0.75 et U4=-0.375. Soit la propriété Pn : Un+1 > Un. Initialisation P3 <==> U3+1 > U3 <==> -0,375 > -0,75 (Vrai). Donc, la propriété Pn est vraie au rang 3. Hérédité. On suppose que Pn est vraie au rang n. Cad que Un+1>Un On veut montrer que Pn+1 est vraie, cad que Un+2>Un+1 Un+1 > Un <==> 0,5 Un+1 > 0,5*Un (On multiplie par un nombre non nul. Donc, on ne change pas le sens de l'inégalité). <==> 0,5 Un+1 + 0,5*(n+2) - 2> 0,5*Un + 0,5*(n+2) - 2 (On ajoute la même quantité à une égalité). <==> Un+2 > 0,5*Un + 0,5*(n+1) + 1 - 2 < 0,5*Un + 0,5*(n+1) - 2 (Transitivité de l'inégalité) <==> Un+2 > Un+1 Donc, Si Pn est vrai alors Pn+1 est vrai également. Conclusion. Par récurrence, on a montré que Pn est vrai pour TOUT n=>3. Merci beaucoup de votre aide, même si je n'ai pas été d'une grande utilité. Je ne pense pas que même avec vos explications j'aurais pu réfléchir de la sorte, même si ça parait plutôt logique au final
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 18 septembre 2016 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2016 Oui, cette fois-ci, tu n'as trop vu comment faire. Mais il faudra assimiler le raisonnement car il est archi classique et tombe régulièrement au bac. Courage !
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