Devoir maison sur le Produit Scalaire.

[Izanami]

Bonsoir, j'ai un DM à rendre demain et il a trois questions qui me posent problème, et j'aimerai bien vérifier mes réponses en même temps alors si quelqu'un veut bien me venir en aide..

Exercice 1 : Soit les points A(3; 5), B(-3; 7), C(-1; 1) et D(5; -1) dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. Calculer vect(BD)   vect(AC). -> vect(BD) =   et vect(AC) =  , Donc vect(BD) · vect(AC) = 8 x (-4)+ (-8) x (-4) = 0

2. Montrer que vect(AB) = vect(DC) -> vect(AB) =   et vect(DC) =   donc vect(AB) = vect(DC)

3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD. ->   vect(BD) · vect(AC) = 0 et [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur donc ABCD est un losange. 

4. Comparer 2AB² + 2BC² et AC² + BD². -> AB² = (  -  )² + (  - )² = (-3-3)² + (7-5)² = 40. et  BC² = (  - )² + (  - )² = (-1+3)² + (1-7)² = 40

Alors 2AB² + 2BC² = 160.

Ensuite, AC² = (  -)² + ( - )² = (-1-3)² +(1-5)² = 32 et BD² = ( -)² + (  -)² = (5+3)² + (-1-7)² = 128.

Alors AC² + BD² = 160. Donc 2AB² + 2BC² = AC² + BD². 

5.Compléter la phrase : Dans un parallélogramme ABCD, on a 2AB² + 2BC²... Démontrer l'affirmation. -> Là, j'ai besoin d'aide ^^ 

Exercice 2 : Soit ABCD un losange tel que AC = 8 et BD = 10. On note O le centre de ce losange. 

2. Calculer vect(AC)   vect(BD), vect(BC)  vect(BD) et vect(AB)  vect(AC). ----> vect(AC)   vect(BD)=0 car ce sont les diagonales du losange.

vect(BC)  vect(BD) =   x vect(BD) = vect(BO) x vect(BD) = 5 x 10 = 50

vect(AB)  vect(AC) =     vect(AC) = vect (AO) x vect(AC) = 4 x 8 = 32.

3.a) Décomposer le vecteur AB en fonction des vecteur AD et DB. En déduire vect(AB)vect(AD)

==> vect(AB) = vect(AD) + vect (DB) donc vect(AB)vect(AD) = (vect(AD) + vect (DB))  vect(AD) = vect(AD)vect(AD) + vect(DB)vect(AD) et je bloque ici ^^ 

3.b) De la même façon, calculer vect(BA)  vect(BC). -> Même chose.. 

Merci d'avance !  

 

[pzorba75]

Pour le 2, tu peux te placer dans un repère (0;C,B) O centre du losange dans lequel O(0;0), A(-4,0), C(4;0), B(0;-5) et D(0;5)

Ensuite, c'est tout simple en utilisant vec(u)(x;y) et vec(v)(x';y') et vec(u)*vec(v)=xx'+yy' pour chacun ds produit scalaire à étudier.