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Convergence d'intégrales généralisées


Historica10

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  • E-Bahut

1/sqrt(x-x^2) est une fonction définie et continue sur [1/2,1[ car :

- sqrt(x) défini/cont sur R+.

- sqrt(1-x) défini/cont sur ]-inf;1]

- sqrt(x)* sqrt(1-x) défini/cont sur [0;1] comme produit de fonctions déf/cont sur cet intervalle.

- 1/sqrt(x-x^2) défini /cont sur ]0;1[ comme composée de fonctions définie et continue sur cet intervalle car sqrt(x)* sqrt(1-x) s'annule en x=0 et x=1.

Donc, on a une integrale impropre de borne supérieure. Soit a dans [0.5;1[.

On reconnaît une forme proche de la dérivée d'asin(x). Chemin : - forme canonique, -factorisation pour obtenir le 1, changement de variable.
1/sqrt(x-x^2) = 1/sqrt(-(x^2-x)) = 1/sqrt(-(x^2-2*1/2*x)) = 1/sqrt(-(x^2-2*1/2*x + 1/4-1/4)) = 1/sqrt(-((x-1/2)^2-1/4)) = 2/sqrt(1-(2x-1)^2).

Posons X = 2x-1. Donc, X1 = 2*1/2-1 = 0, X2 = 2*a-1 et dX = 2dx.

Ainsi,

int_1/2^a dx/sqrt(x-x^2)  = int_1/2^a 2dx/sqrt(1-(2x-1)^2) = int_0^{2a-1} dX/sqrt(1-X^2) = [asin(X)]_0^a = asin(2a-1) - asin(0) = asin(2a-1).

Donc, int_1/2^1 dx/sqrt(x-x^2) = lim_{a-->1} asin(2a-1) = asin(1) = pi/2

 

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