DM de math N°2

[Ldg]

Bonjour, je suis bloquée à mon dm de mathématiques, voici l'énoncé:

On donne le nombre complexe j = 1/2+i*(racine 3)/2

Questions:

• Résoudre z²+z+1 = 0

• Vérifiez que le nombre complexe j est une solution de cette équation.

• Déterminez le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle.

• Démontrez les égalités suivantes:

a. j^3 = 1

b. j² = -1-j

On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, j et j² dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR? Justifiez.

Mes réponses:

• J'ai trouvé un discriminant de (-3) donc delta = (racine3)i

avec comme première racine x1 = (-1-(racine3)i)/2 et comme seconde x2 = (-1+(racine3)i)/2 

• Je ne sais pas comment faire.

• J'ai trouvé le module = 1

et z = 1(cos 2pi/3 + isin 2pi/3) ceci est bon? Je dois faire quoi ensuite?

• Je n'y arrive pas.

• Il me faut le réponse précédente pour y arriver.

 

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Il y a une erreur d'énoncé. j = -1/3 + i*sqrt(3)/2.

1) z^2 + z + 1 = 0 (E)

D = 1^2 - 4*1*1 = -3. Donc, deux racines imaginaires conjuguées qui sont :

z1 = (-1-i*sqrt(3))/2 et z2 = (-1+i*sqrt(3))/2

Comme z1 = j, on en déduit que j est solution de l'équation.

2) |j| = sqrt(1/4 + 3/4) = 1. Le module vaut 1.

Soit theta, l'argument de j. Donc, cos(theta) = -1/2 et sin(theta) = sqrt(3)/2). Ainsi, theta = 2*pi/3 mod 2pi.

En conclusion, j = exp(i*2*pi/3).

3) a)En utilisant la forme exponentielle, j^3 = exp(i*2*pi/3)^3 = exp(3*2*i*pi/3) = exp(i*2pi) = 1

b) Comme j est solution de (E), on en déduit que  j^2 = - j - 1.

4) Si tu fais le dessin, tu verras que PQR est un triangle équilatéral (à démonter).

 

[Ldg]

Bonjour, je tiens à vous remercier pour votre aide, mais j'ai un petit soucis, je ne comprends pas comment placer PQR dans le plan mais je sais par la suite comment démontrer. L'image de 1 serais j^3 ? et ainsi de suite ? 

[Boltzmann_Solver]

Bonjour, 

Je t'en prie. 

 

Exprime j^2 en notation algébrique. Ensuite dessine le plan complexe. 

Je pars du principe que tu sais placer un point dans le plan complexe.

[Ldg]

C'est donc -i-1 ?

[Boltzmann_Solver]

il y a 15 minutes, Ldg a dit :

C'est donc -i-1 ?

Non. Comment as tu pu trouver ça ?

[Ldg]

Je sais pas, je comprend pas.. 

[Boltzmann_Solver]

il y a 26 minutes, Ldg a dit :

Je sais pas, je comprend pas.. 

Relis ma correction, tu as la réponse. Courage !

[Ldg]

Je trouve pas, c'est pas grave, merci quand même

[Ldg]

Finalement j'ai réussi, merci de votre aide !

[Boltzmann_Solver]

Il s'agit du sujet d'Asie 2015. Le corrigé est sur le site de l'APMEP : http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige_Asie_S_16_juin_2015_FH.pdf