Exercice sur les complexes

[chichima]

Bonsoir tout le monde alors voilà, j'ai un exercice sur le chapitre des complexes à faire et j'aurais besoin d'une aide si possible ^^
Merci d'avance pour votre aide 

 

Enoncé de l'exercice  :

PARTIE A :

On considère l'équation (1) = z⁴ = -4  (z complexe)

1) Montrer que si z est solution de l'équation (1) alors (-z) est aussi solution de (1)

2) Soit z₀ = 1 + i
    a. Ecrire z₀ sous forme exponentielle 
    b. Montrer que z₀ est solution de l'équation (1)
     c. En déduire une autre solution de l'équation (1)

PARTIE B :

A, B, C et D sont d'affixes respectives : 
z_A = 1 + i    z_B == -1 + i       z_C = -1-i    z_D = 1- i
On considère l'application qui,au nombre complexe z associe le nombre complexe z' tel que : z' = e (z - z_C) + z_C
z_E est l'image de z_B et z_F est l'image de z_D

1) Montrer que z_E = -1 + ?3
2) Déterminer l'affixe z_F
3) Démontrer que le quotient (z_E - z_A)/(z_F - z_A) est un nombre réel.
4)Que peut -on en déduire pour les points A, E et F ?

[chichima]

pour la partie B : c'est 

PARTIE B :

A, B, C et D sont d'affixes respectives : 
z_A = 1 + i    z_B == -1 + i       z_C = -1-i    z_D = 1- i
On considère l'application qui,au nombre complexe z associe le nombre complexe z' tel que : z' = e ^{-i π /3} (z - z_C) + z_C
z_E est l'image de z_B et z_F est l'image de z_D

1) Montrer que z_E = -1 + √3
2) Déterminer l'affixe z_F
3) Démontrer que le quotient (z_E - z_A)/(z_F - z_A) est un nombre réel.
4)Que peut -on en déduire pour les points A, E et F ?

[pzorba75]

Quelques éléments pour te mettre au travail, suite au premier message :

(-z)^4=z^4

1+i=sqrt(2)*e^(i*pi/4)

[chichima]

Ce que j'ai fais ^^

PARTIE A : 

1)  On a z⁴ = (-z)⁴  Donc z⁴ = -4  (-z)⁴ = -4

2) a;  Iz₀I = I1+iI  = racine carré de 1²+ 1² = √2 
cos Ø = 1/√2  et sin Ø = 1/√2

[chichima]

il y a 19 minutes, pzorba75 a dit :

Quelques éléments pour te mettre au travail, suite au premier message :

(-z)^4=z^4

1+i=sqrt(2)*e^(i*pi/4)

Bonjour, que signifie " sqrt(2) " s'il vous plait ?  

En calculant le module puis les arguments je n'arrive pas à tomber sur votre résultat pour trouver la forme exponentielle :/

[pzorba75]

sqrt signifie, en anglais, et dans les langages de programmation, Xcas inclus, racine carrée. Tu peux écrire sqrt(4)=2 ou sqrt(3x^2-1) etc.

[chichima]

il y a 4 minutes, pzorba75 a dit :

sqrt signifie, en anglais, et dans les langages de programmation, Xcas inclus, racine carrée. Tu peux écrire sqrt(4)=2 ou sqrt(3x^2-1) etc.

Ah d'accord merci xD ^^

Sinon je n'arrive toujours pas à tomber sur votre résultat pour la forme exponentielle :/

[chichima]

Tout compte fait j'ai compris désolé.. ^^ (erreur de simplification) 

Maintenant pour la 2)b. Il faut que je fasse 1 + i = -4 ?

[pzorba75]

z^4+4=z^4-4i^2 que tu peux arranger et factoriser.

[chichima]

Si je fais (1+i)⁴ = (1+i)*(1+i)*(1+i)*(1+i) 
                                = (1+i)² * (1+i²) = (1+2*1*i + i²) * (1+2*1*i + i²) 
                                2i*2i = -4 si vous préferez ^^ 

Ensuite pour la 2)c. Il faut  déduire une autre solution de l'équation (1) 
Je suppose que la réponse provient de z₀ 

[pzorba75]

Si je fais (1+i)⁴ = (1+i)*(1+i)*(1+i)*(1+i)  plus simple avec la forme exponentielle
                                = (1+i)² * (1+i²) = (1+2*1*i + i²) * (1+2*1*i + i²)  Faux (1+i)² (1+i)^2, la suite est correcte!
                                2i*2i = -4 si vous préférez ^^