Stark02 Posté(e) le 16 janvier 2016 Signaler Posté(e) le 16 janvier 2016 Coucou, Pour les 8 premières images je n'ai pas encore fait la leçon. Mais pour les deux dernières je pense que la suite serait juste : Partie A : Pour tout n de ℕ, 2(²ⁿ)≥1+2ⁿ≥2+n On a : Lim n= +∞ donc ( règle opératoire ) lim (2+n)=+∞ et (comparaison à l'infini) lim 2²ⁿ=+∞ 1 ) voir tableau 2 ) pour tout n de ℕ, Un+1 - Un≤0 donc la suite est décroissante 3) Cas U0 = -2 a) Pour tout n de ℕ, on note P(n) : Un≤ -2(²ⁿ) La proposition P(0) est vraie. Soit k un entier naturel tel que P(k) est vraie On a alors Uk≤ -2(²κ) et donc comme f est croissant sur ℝ⁻, Uk+₁≤f(-2(²k)) De plus, f(-2(²k) = -2(²k) -2(k⁺¹)≤-2(²k⁺¹) ce qui prouve que P(k+1) est vraie. L'hérédité est donc prouvée. On en déduit le resultat par récurence b) On a lim 2²ⁿ=+∞ donc lim -2²ⁿ= -∞ et lim Un= -∞ On obtient gràace à la calculatrice que -2(²⁶)≤ -10¹⁰ donc pour tout n≥6 Un ≤-2(²ⁿ)≤-2(²⁶) ≤ -10¹⁰ d ) On a n₂ = 5 4) Cas U₀= 0,5 c) inégalité par récurrence Pour tout n de ℕ on note P(n) Un ≤1/n Les propositions P(1) et P(2) sont vraies Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2 tel que P(k) est vraie On a alors Uk≤ 1/k et donc comme f est croissante sur ]-∞;½], Uk₊₁≤ (1/k) De plus, f(1/k) = k-1/k²≤1/k+1 car (k-1)(k+1)≤k² ce qui prouve que P(k+1) est vraie. l'hérédité est donc prouvée. On en déduit le resultat par récurrence Ainsi lim Un = 0.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 16 janvier 2016 E-Bahut Signaler Posté(e) le 16 janvier 2016 A1------------ L'égalité de Bernouilli (1+x)^n>1+n*x étant admise pour tout x >0 est valable pour x=1 (1+1)^n≥1+n 2^n ≥ 1+n lorsque n-> ∞ alors 2^n -> ∞ A2------------ Lorsque n-> ∞ alors 2^n-> ∞ et 2^(2^n)=2^∞ -> ∞ B1------------ f(x)=x-x^2 f'(x)=1-2*x s'annule pour x= 1/2 en étant >0 avant cette valeur puis négative après. x……………………..(1/2)………………….. f'(x)………(+)………..(0)………(-)…………. f(x)………crois……..Max…….décrois………. où Max =1/4 B2------------ La suite un est décroissante car un+1-un=un-un^2-un=-un^2<0 B3------------ u0=-2 ≤-2^(2^0)=2 u1=-2-(-2)^2=-6 ≤-2^(2^1)=-4 u2=-6-(-6)^2=-42 ≤-2^(2^2)=-16 on suppose un=un-1-(un-1)^2≤ -2^(2^n) ---------- Par définition un+1=un-(un)^2 or un≤-2^(2^n) (un)^2≥ (2^(2^n))^2=2^(2^(n+1)) -------- un≤-2^(2^n) 2^(2^(n+1))≤(un)^2 --------- un+2^(2^(n+1)) ≤(un)^2-2^(2^n) un+1=un-(un)^2 ≤-2^(2^n)-2^(2^(n+1)) ≤ -2^(2^(n+1)) la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et un≤ -2^(2^n) ------------- Agorithme écrit en Algobox B4---------------- u0=1/2 u1=u0-u0^0 =u0*(1-u0)<u0=1/2 on suppose un<1/2 un+1=un*(1-un) <un<1/2 la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n ----------- u0=1/2 u1=u0-u0^0 =u0*(1-u0)>0 on suppose un>0 un+1=un*(1-un) comme un<1/2 et >0 ==> un+1>0 la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n Conclusion 0<un<1/2 B4b------------- suite bornée donc convergente un+1=un-un^2 ==> un+1-un=-un^2 <0 donc suite décroissante et la suite converge vers 0 sa borne inférieure B4c------------- ????? Je ne vois pas comment démonter rigoureusement que un<1/n
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