Exercice sens de variation.

[Izanami]

Bonsoir à tous,
Voilà je sollicite votre aide pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre alors si vous pouviez me venir en aide.. Concernant les deux premières questions; c'est surtout le fait que ça soit logique qui me bloque, je ne sais pas comment expliquer..

Je vous remercie d'avance. 

 

[Barbidoux]

a--------------------

soient a et b appartenant à I tels que b>a

f est croissante sur I ==> f(b)>f(a) (définition d'une fonction croissante)

g est croissante sur I ==> g(b)>g(a)

Il s'en suit  que f(b)+g(b)>f(a)+g(a) 

et  la fonction (f+g)(x)=f(x)+g(x) étant telle que  f(b)+g(b)>f(a)+g(a) ==> (f+g)(b)>(f+g)(a) alors la fonction(f+g)(x) est  croissante sur I

1b--------------------

soient a et b appartenant à I tels que b>a

f est décroissante sur I ==> f(b)<f(a) (définition d'une fonction décroissante)

g est décroissante sur I ==> g(b)<g(a)

Il s'en suit  que f(b)+g(b)<f(a)+g(a) 

et  la fonction (f+g)(x)=f(x)+g(x) étant telle que  f(b)+g(b)<f(a)+g(a) ==> (f+g)(b)<(f+g)(a) alors la fonction(f+g)(x) est  décroissante sur I

1b--------------------

soient a et b appartenant à I tels que b>a

on suppose que f est décroissante sur I ==> f(b)<f(a) (définition d'une fonction décroissante) ==> f(b)-f(a)<0

g est croissante sur I ==> g(b)>g(a) (définition d'une fonction croissante) ==> g(b)-g(a)

Il s'en suit  qu'il est impossible de prévoir quel sera  le signe de la différence f(b)+g(b)-f(a)+g(a) la somme de deux quantité de signe contraire pouvant être positive, négative ou nulle et la somme d'une fonction croisante et décroissante peut être croissante, contante, ou décroissante.

2a----------------------

f(x)=2*x et g(x)=3*x sont des fonction croissantes ainsi que f(x)*g(x)=6*x^2

celle se démontre en prenant deux valeurs  a et b appartenant à leur intervalle de définition I tels que b>a

f est croissante sur I car ==> 2*b>2*a 

g est croissante sur I =car ==> 3*b>3*a 

f*g est croissante sur I =car ==> 3*b^2>3*a^2 

2b----------------------

f(x)=x^2 et g(x)=-1/x sont des fonction croissantes mais f(x)*g(x)=-x est décroissante

celle se démontre en prenant deux valeurs  a et b appartenant à leur intervalle de définition I tels que b>a

f est croissante sur I car ==> b^2>a^2

g est croissante sur I =car ==> -1/b>-1/a 

f*g est décroissante sur I =car ==> -b<-a

2c----------------------

Le produit de deux fonction croissantes n'est une fonction croissante que si les deux fonctions sont positives sur leur intervalle de définition

[Izanami]

Merci beaucoup mais normalement pour la 2. c) la propriété  ce n'est pas : 

Si f et g sont positives et croissantes sur un intervalle I, alors la fonction produit f x g est croissante sur I. ·

et

Si f et g sont positives et décroissantes sur un intervalle I, alors la fonction f x g est décroissante sur I. ? Enfin dans la propriété c'est le fait qu'elles soit croissantes ou décroissantes (et non pas positive ou négative) qui varie non ? 

[Barbidoux]

Il y a 8 heures, Izanami a dit :

Merci beaucoup mais normalement pour la 2. c) la propriété  ce n'est pas : 

Si f et g sont positives et croissantes sur un intervalle I, alors la fonction produit f x g est croissante sur I. ·

oui c'est ce qu'il fallait écrire et c'est ce que permettait de penser la question a mais qu'il auarit été bon de démontrer dans un cas général

et

Si f et g sont positives et décroissantes sur un intervalle I, alors la fonction f x g est décroissante sur I. ?

oui mais cela reste à démontrer dans le cas général

Enfin dans la propriété c'est le fait qu'elles soit croissantes ou décroissantes (et non pas positive ou négative) qui varie non ? 

on ne peut rien dire sur le produit de deux fonctions croissantes ou décroissantes dans le cas général 

 le 2c est mal formulé et j'aurais du écrire :

2c----------------------

Le produit de deux fonction croissantes/(décroissantes)  est une fonction croissante/(décroissante) que lorsque les deux fonctions sont positives sur leur intervalle de définition.

et surtout le démontrer

-------------------

a et b appartient à un intervalle de définition I d'une fonction tel que b>a

f est croissante ==> f(b)>f(a) ==> 1>f(a)/f(b)

g est croissante ==> g(b)>g(a)==> g(b)/g(a)>1 ==> g(b)/g(a)>f(a)/f(b)

si f et g sont positives alors f(b) et g(a) le sont et  g(b)*f(b)>g(a)*f(a) ==> la fonction f*g est croissante

De même

f est décroissante ==> f(b)<f(a) ==> 1<f(a)/f(b)

g est décroissante ==> g(b)<g(a)==> g(b)/g(a)<1 ==> g(b)/g(a)<f(a)/f(b)

si f et g sont positives alors   g(b)*f(b)<g(a)*f(a) ==> la fonction f*g est décroissante