Dm de mathématique sur nombre complexe

[mirava]

Bonjour je n'arrive presque pas à faire mon Dm mais je ne suis pas du tout forte en maths. Merci par avance.
[rouge]Ex1 [/rouge]
1. Resoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : 
z^2-2z+2=0
[bleu]Ici j'ai trouvé 1-i et 1+i [/bleu]
2.En déduire les solutions dans C de l'équation :
(-iz+3i+3)²-2(-iz+3i+3)+2=0 
[bleu]J'ai remarqué que cela correspondait à l'équation précédente [/bleu]
[rouge]Ex 2 : [/rouge]
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v), unité graphique 4cm. Soient E(-2i) et F(2-i)
À tout point M(z), z différents de -2i, on associe le point M'(Z) tel que Z= (z-2+i)/(z+2i)
1.Placer les points E et F dans (O;u;v)
[bleu]J'ai réussi [/bleu]
2. Si z=x+iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie imaginaire et la partie réelle de Z en fonction de x et y
3. On vérifiera que Ré(Z) = (x²+y²-2x+3y+2)/(x²+(y+2)²)
4. En déduire la nature de : 
L'ensemble ¢ des points M(z) tels que Z soit un réel 
L'ensemble des points M(z) tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul 
Représenter ces deux ensembles 
[rouge]Ex 3[/rouge]
Pour tout nombre complexe Z, on considéré 
P(x)= z⁴-10³+38z²-90z+261
1. Soit b un nombre reel.
Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de P(ib).
En déduire que l'équation P(z)=0 admet deux nombres imaginaires purs parmi ses solutyions.
2. Déterminer les deux nombres réels à et b, tels que, pour tout nombres complexes z, 
P(z)=(z²+9)(z²+az+b)
3. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P(z)=0

[CitronVert]

Salut ! Autant te le dire tout de suite : ton DM est assez dur, et tu devras prendre un peu de temps pour le faire et comprendre les réponses.

Ex1
2.En déduire les solutions dans C de l'équation :
(-iz+3i+3)²-2(-iz+3i+3)+2=0 
Pour cette question, tu n'as vraiment aucune idée du tout de ce que peuvent être les solutions ? ou tu ne sais simplement pas comment le justifier ? La justification demande beaucoup de rigueur avec les "si et seulement si", donc on va la laisser tomber pour l'instant. Essaie d'écrire un peu tes idées comme elles viennent et seulement de trouver les solutions sans rien démontrer.

Pour que z soit solution de (-iz+3i+3)²-2(-iz+3i+3)+2=0 , il faut quoi ? (Cet exercice ne contient presque pas de nombres complexes, c'est juste de la logique)

Ex 2 :
À tout point M(z), z différents de -2i, on associe le point M'(Z) tel que Z= (z-2+i)/(z+2i)
2. Si z=x+iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie imaginaire et la partie réelle de Z en fonction de x et y

Exercice radicalement différent, je te conseille de l'attaquer seulement quand tu auras fini le premier.

a) Remplace z par x+iy dans l'expression de Z.

b) Tu obtiens un quotient avec des i en haut et en bas. Les i en bas nous embêtent, il faudrait les faire disparaître. Astuce (que je te conseille de retenir) : multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.

c) Développe (c'est long), et tu obtiens quelque chose sous la forme (A + iB)/(module²), tu peux en déduire les parties réelle et imaginaire.

(PS: Pour Re(z), tu es censée obtenir ce qui est affiché dans la question 3))

 

Si tu bloques encore, détaille plus ce que tu as fait STP. Au fait,  Il n'y a pas de "nul" en maths les maths c'est de la logique avant tout, donc c'est comme si tu disais "je suis nulle en logique"

[mirava]

Merci de me répondre Citron Vert, en fait j'ai réussi à faire l'exercice 2 grâce à ce que tu m'as mis (et merci d'ailleurs ^^) mais je n'arrive toujours pas à comprendre comment procéder pour l'exercice 1 à la question 2 si il faut remplacer Z ou non :/

Oui tu as raison merci 

[Barbidoux]

1. Resoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : 
z^2-2*z+2=0
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solutions z=1-i et z=1+i

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2.En déduire les solutions dans C de l'équation :
(-iz+3i+3)^2-2(-iz+3i+3)+2=0 
-----------------

Il suffit de poser Z=(-iz+3i+3) pour retrouver l'équation de la question 1 les solution de cette équation sont donc

(-iz+3i+3)=1-i ==> z=4-2*i

(-iz+3i+3)=1-i  ==>z=2-2*i

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Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v), unité graphique 4cm. Soient E(-2i) et F(2-i)
À tout point M(z), z différents de -2i, on associe le point M'(Z) tel que Z= (z-2+i)/(z+2i)
1.Placer les points E et F dans (O;u;v)

-----------------

 

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2. Si z=x+i*y, x et y étant deux réels, exprimer la partie imaginaire et la partie réelle de Z en fonction de x et y

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Z=(x-2+i*(y+1))/(x+i*(2+y))
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3. On vérifiera que Ré(Z) = (x^2+y^2-2x+3y+2)/(x^2+(y+2)^2)

-----------------

Z=(x-2+i*(y+1))*(x-i*(2+y))/((x+i*(2+y))*(x-i*(2+y)))=((x^2-2*x+y^2+3*y+2)+i*(2*y-x+4))/(x^2+(2+y)^2)

Re(Z)=(x^2-2*x+y^2+3*y+2)/(x^2+(2+y)^2)

Im(Z)=(2*y-x+4)/(x^2+(2+y)^2)
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4. En déduire la nature de : 
L'ensemble C des points M(z) tels que Z soit un réel 

----------------- 

Pour que Z soit un réel il faut que Im(Z)=(2*y-x+4)/(x^2+(2+y)^2)=0 soit  2*y-x+4=0 ==> droite d'équation y=x/2+2  

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L'ensemble des points M(z) tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul 
-----------------

Pour que Z soit un imaginaire pur il il faut que Re(Z)=0 ==> Re(Z)=(x^2-2*x+y2+3*y+2)/(x^2+(2+y)^2)=0

==>  x^2-2*x+y^2+3*y+2=0 ==> (x-1)^2+(y+3/2)^2=5/4

Cercle de centre {1,-3/2} et de rayon √5/2