NoctisX55 Posté(e) le 23 novembre 2015 Signaler Posté(e) le 23 novembre 2015 Bonsoir, je souhaiterais que quelqu'un puisse me corriger mon DM de math, s'il vous plaît. Je remercie d'avance ceux ou celles qui m'aideront! Énonce: I f est la fonction définie sur [0;1] par: f(x)=x3+3x-2 1.a) Dresser le tableau de variation de la fonction f. b)Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution comprise entre 0 et 1. 2.a) Expliquer le rôle de l'algorithme suivant: Initialisation: a prends la valeur 0 b prends la valeur 1 Traitement: Tanque b-a>0,1 m prends la valeur (a+b)/2 Si f(m)>0 alors b prends la valeur m sinon a prends la valeur m Fin si Fin tant que Sorties: Afficher a et b b) Indiques les valeurs successives prises par a, b et m lorsqu'on fait fonctionner cet algorithme. c) Déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de la valeur . II 1. Le graphique ci-contre représente les tarifs postaux applicables en France métropolitaine en juillet 2011. On note x la masse d'une lettre, en grammes, et f(x) le tarif d'envoi, en euros, de ce courrier. a) Étudier graphiquement le continuité de cette fonction f. b) Donner l'expression de f(x) selon les intervalles auxquels x appartient. 2. On a commencé à représenter la fonction f definie sur [0;10] par: {0,5x²-2,5x+4 si 0x2 f(x)={ax+b si 2<x<7 {0,4x²-5x+16 si 7x10 Comment choisir les nombres réels a et b pour que f soit continue sur [0,10]? 3. En physique, lors de l'étude de système automatique, intervient la fonction Heaviside. Cette fonction est notée H, et elle est définie sur par: H(t){0 si t<0 {1 si t0 a) Dans un repère, représenter graphiquement la fonction H. b) Étudier la continuité de la fonction H. III f est la fonction définie sur par f(x)=x3+4x²+4x 1.a) Dresser le tableau de variation de f. b) Démontrer que l'équation f(x)=-1 admet exactement trois solutions dans . c) Avec la calculatrice, donner la valeur exacte ou l'arrondi au centième de chaque solution. 2. Résolution algébrique de l'équation f(x)=-1. a) Montrer que a) cette équation est équivalente à l'équation notée (E). (E): x3+4x²+4x+1=0 b) Montrer que (-1) est solution de (E) c) Déterminer les réels a,b et c tels que: x3+4x²+4x+1=(x+1)(ax²+bx+c) d) En déduire les solutions de (E), puis de f(x)=-1 IV f et g sont les fonctions définies sur ]-2;+00[ par: f(x)=(x3-3x-6)/(2(x+2)) et g(x)=(1/2)(x-1)² 1.a) Traces dans une même fenêtre de la calculatrice, les courbes représentatives des fonctions f et g. b) Qu'observe-t-on pour les grands valeurs de x? 2.a) Démontrer que pour tout nombre réel x>-2: g(x)-f(x)=4/(x+2) b) En déduire les limite de g(x)-f(x) lorsque x tend vers +00. c) Étudier la position relative des courbes représentatives de f et g. 3. On considère l'algorithme suivant: Entrée et initialisation: Saisir a (nombre positif proche de 0) x prends la valeur -1 Traitement : Tant que 4/(x+2) >a x prends la valeur x+1 Fin tant que Sortie Affiche x a) Expliquer le rôle de cet l'algorithme. b) Quelle valeur de x, l'algorithme affiche-t-il lorsqu'on saisit a=0,01 V 1.h est la fonction définie sur par h(x)=x/(2-cos(x)). a) Conjecturer les limites de h en +00 et en -00. b) Démontrer ces conjecture 2.h est la fonction définie sur * par h(x)=x²*sin1/x a) Conjecturer la limite de h en 0. b) Démontrer cette conjecture.
NoctisX55 Posté(e) le 23 novembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 23 novembre 2015 Petite erreur d'énoncé: La photo ci-dessous correspond au 2 du II!
NoctisX55 Posté(e) le 23 novembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 23 novembre 2015 Réponses: I 1.a) f '(x)=3x²+3=b²-4ac=-36<0 Il n'existe pas de racine, donc: b) Sur [O;1], la fonction f est définie, continue et strictement croissante. f(0)=-2<0 f(1)=2>0 Donc sur l'intervalle [0;1], il existe une solution unique pour l'équation f(x)=0. 2.a) Cet algorithme est dit algorithme de dichotomie, et permet de déterminer un encadrement à 0,1 de , solution unique de l'équation f(x)=0. Par contre, je ne suis pas satisfait de ma réponse ici :/ ... je trouve qu'elle est trop légère mais je ne sais pas quoi rajouter. b)Ici, je bloque puisque mon algorithme ne fonctionne pas (j'ai dû faire une erreur, mais je ne l'ai pas encore localisée --') c)f(0,59)=-0,0246<0 f(0,60)=0,016>0 Donc ]0,59 ; 0,60[ II 1.a) On conjecture que la fonction f ne soit pas continue en 0, 20, 50 et en 100. Par contre je ne sais pas si je dois le justifier ? Et comment le justifier, si je dois le justifier ? b) {0,60 si 0<x20 {1 si 20<x50 f(x)={1,45 si 50<x100 {2,40 si 100<x200 2. Afin que la fonction f soit continue, il faut que ax+b soit égal à 1 pour x=2 puisque f(2)=1. Et que ax+b soit égal à 3/5 pour x=7, puisque f(7)=3/5. On a: Pour x=2 ax+b=1 2a+b=1 Pour x=7 ax+b=3/5 7a+b=3/5 On obtient un système: 2a+b=1 7a+b=3/5 b=1-2a 7a+1-2a=3/5 b=1-2a 5a=-2/5 b=1-2a a=-2/25 b=29/25 a=-2/25 Donc pour que la fonction f soit continue, il faut que: {0,5x²-2,5x+4 si 0x2 f(x)={-2x/25+29/25 si 2<x<7 {0,4x²-5x+16 si 7x10 3. a) Par contre sur le point B, ça ne devrait pas être un point mais un crochet arrondi ^^'. b) Limite en 0 par valeur inférieure Lim H(t)=0 x0 x<0Limite en 0 par valeur supérieure Lim H(t)=1 x0 x>0 Donc Lim H(t)=1 Lim H(t)=1, donc la fonction H n'est pas continue en x=0. x0 x0 x<0 x>0 III 1.a) f '(x)=3x²+8x+4=b²-4ac=4² x1=-2 x2=-(2/3) b) Sur ]-00;-2], la fonction f est définie, continue et strictement croissante. Lim f(x)= -00 <-1 x-00 f(-2)=0 >1 Donc sur l'intervalle ]-00;-2], l'équation f(x)=-1 admet une solution notée . Sur [-2;-(2/3)], la fonction f est définie, continue et strictement décroissante. f(-2)=0 >1 f(-(2/3))=-1,185 <-1 Donc sur l'intervalle [-2;-(2/3)], l'équation f(x)=-1 admet une solution notée . Sur [-(2/3);+00[, la fonction f est définie, continue et strictement croissante. f(-(2/3))=-1,185 <-1 Lim f(x)= +00 >-1 x+00 Donc sur l'intervalle [-(2/3);+00[, l'équation f(x)=-1 admet une solution notée . Finalement sur , l'équation f(x)=-1 admet trois solutions notée , et . c)-2,62 =-1 -0,46 2.a) f(x)=-1 x3+4x²+4x=-1 x3+4x²+4x + 1= Donc (E) est bien équivalent à f(x)=-1. b) Dire que -1 est solution de (E) signifie que pour x=-1, (E)=0. (E) : 1*3+4*1²+4x + 1=-1+1=0 Donc -1 est bien solution de (E). c) (x+1)(ax²+bx+c)=0 ax3+bx²+cx+ax²+bx+c=0 ax3+ (b+a)x²+(c+b)x+c=0 Par identification, on: a=1 b+a=4 ==> b=3 c+b=4 ==> c=1 (x+1)(x²+3x+1) d) Les solutions de (E) sont: (x+1)=0 x1=-1 (x²+3x+1)=0=b²-4ac=5 x2=(-3-(5))/2 x3=(-3+(5))/2 Ce qui correspond aux solutions de f(x)=-1, donc : (-3-(5))/2 =-1 (-3+(5))/2 IV 1.a) Fait. b) On conjecture que pour les grandes valeurs de x, les courbes représentatives de f et g se rapprochent. Et que g se trouve au-dessus de f pour des grandes valeurs de x. 2.a) g(x)-f(x)= (x²-2x+1)-(x3-3x-6)/(2(x+2))=8/2(x+2)=4/(x+2) Ici je ne mets pas le calcul en entier, puisqu'il ne s'agit que d'un "bête" calcul. Je ne vois pas l'intérêt de vous embêter avec ceci ... b) Lim 4 = 4 x+00 Par quotient: Lim g(x)-f(x)=0+ Lim x+2=+00 x+00 x+00 3.a) Le but de l'algorithme de définir pour quelle valeur de x, l'écart entre g(x) et f(x) est inférieur à une valeur saisie : a. b) Pour a=0,01, l'algorithme nous donne 398 comme valeur de x. V a) On conjecture que la limite de la fonction h définie par h(x)=x/(2-cos(x)) lorsque x tends vers +00 est +00, et que sa limite lorsque x tends vers -00 est -00. b) Limite en +00x: -1cos(x)1 On multiplie par -1, donc le signe de l'inéquation change: 1- cos(x)-1 1+22-cos(x)-1+2 32-cos(x)1 x/3x/2-cos(x)x Par contre ici, je ne sais pas quoi dire, j'ai n'ai pas dû rédiger de la bonne manière... Lim x/3=+00 x+00 +00x/2-cos(x) Donc selon le théorème de comparaison, Lim h(x)=+00 x+00 Limite en -00 1.x: -1cos(x)1 On multiplie par -1, donc le signe de l'inéquation change: 1- cos(x)-1 1+22-cos(x)-1+2 32-cos(x)1 x/3x/2-cos(x)x Lim x=-00 x-00 x/2-cos(x)-00 Donc selon le théorème de comparaison, Lim h(x)=-00 x-00 2.a) On conjecture que la limite de la fonction h définie par h(x)=x²*sin1/x, lorsque x tends vers 0 est 0. b) Ici, je ne sais pas comment le démontrer ... ou plutôt comment présenter mon développement à cause du sin(1/x)
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 24 novembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 novembre 2015 f est la fonction définie sur [0;1] par: f(x)=x^3+3x-2 1.a) Dresser le tableau de variation de la fonction f. ------------------ f'(x)=3*x^2+3 >0 pour toute valeur de x donc f(x) est uniformément croissante sur R ----------------- b)Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution comprise entre 0 et 1. ---------------- f(0)=-2, f(1)=2 et f(x) uniformément croissante ==> le graphe de f(x) coupe l'axe des abscisses en un point x0 appartenant à [0,1] solution de f(x)=0 ----------------- 2.a) Expliquer le rôle de l'algorithme suivant: ---------------- 1. Le graphique ci-contre représente les tarifs postaux applicables en France métropolitaine en juillet 2011. On note x la masse d'une lettre, en grammes, et f(x) le tarif d'envoi, en euros, de ce courrier. a) Étudier graphiquement le continuité de cette fonction f. ---------------- fonction discontinue en 0,20,50,100 ---------------- b) Donner l'expression de f(x) selon les intervalles auxquels x appartient. ---------------- x appartenant à 0≤x< 20 ==> f(x)=60 x appartenant à 20≤x< 50 ==> f(x)=1 x appartenant à 50≤x< 100 ==> f(x)=1.45 x appartenant à 100≤x< 250 ==> f(x)=2.40 ---------------- 2. On a commencé à représenter la fonction f définie sur [0;10] par: {0,5x²-2,5x+4 si 0x2 f(x)={ax+b si 2<x<7 {0,4x²-5x+16 si 7x10 Comment choisir les nombres réels a et b pour que f soit continue sur [0,10]? --------------- il faut que f(2)=2*a+b)=0.5*4-5+4=1 et f(7)=7*a+b=0.4*49-35+16=0.6 ==> a=-0.08, b=1.16 ---------------- 3. En physique, lors de l'étude de système automatique, intervient la fonction Heaviside. Cette fonction est notée H, et elle est définie sur par: H(t){0 si t<0 {1 si t0 a) Dans un repère, représenter graphiquement la fonction H. b) Étudier la continuité de la fonction H. ------------- H(t) est discontinue en 0 car lim H(t) lorsque t->0+ =1 est différente de lim H(t) lorsque t->0-=0 ----------------
NoctisX55 Posté(e) le 25 novembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 25 novembre 2015 Bonjour, je ne sais quoi dire si ce n'est énorme merci pour votre aide. Sinon pourriez vous me montrer comment faire la question 1 l'exercice 5 (je l'ai fait, mais je pense que c'est faux) s'il vous plaît ?
NoctisX55 Posté(e) le 25 novembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 25 novembre 2015 x: -1cos(x)1 On multiplie par -1, donc le signe de l'inéquation change: -1- cos(x) 1 12-cos(x)3 1/31/(2-cos(x))1 (on a pris l'inverse donc on interverti encore les signes) x/3 x/(2-cos(x))x
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 25 novembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 25 novembre 2015 V……………… 1.h est la fonction définie sur par h(x)=x/(2-cos(x)). a) Conjecturer les limites de h en +∞ et en -∞. ------------- h(x)-> ∞ lorsque x->∞ h(x)-> -∞ lorsque x->-∞ ------------- b) Démontrer ces conjecture ------------- h(x)=x/(2-cos(x)) quelque soit x alors -1≤cos(x) ≤1 ==> 1≤ 2-cos(x)≤3 en conséquence lorsque x-> ∞ h(x)=x/(2-cos(x)) ->∞ et lorsque x-> -∞ h(x)=x/(2-cos(x)) -> -∞ ------------- 2.h est la fonction définie sur * par h(x)=x²*sin1/x a) Conjecturer la limite de h en 0. ------------- lorsque x->0 alors h(x)->0 ------------- b) Démontrer cette conjecture. ------------- on pose x=1/X ==> h(X)=sin(X)/X^2 x->0 ==> 1/X ->0 ==> X-> ∞ quelque soit X alors -1≤sin(X) ≤1 Lorsque X->∞ alors h(X)=sin(X)/X^2->0 ce qui fait que h(x)->0 lorsque x->0 -------------
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