Encadrement

[skate81]

Bonjour, je ne comprend pas comment on fait cet encadrement : 

on a  -2 < x  1 et    1  y < 4. Donner un encadrement de xy.

Je ne sais pas si on a le droit de tout multiplier directement.

Sinon je dirai :  -2 < xy < 4

Merci d'avance pour votre réponse bonne soirée.

[Barbidoux]

y>0 ==> -2*y<x*y≤y ==>comme y< 4==>  -2*y<x*y<4 et comme -2*y>-8 ==>-8<x*y<4

 

[skate81]

Je ne comprends pas comment on arrive à avoir -8 à la borne inférieure. 

Justement si y > 0 : alors on fait -2 * 1 < x*y < 1 * 4 non ? Et ça nous donne -2 < xy < 4 ?

[Barbidoux]

on a  -2 < x  1 et    1  y < 4. 

y>0 ==> -2*y<x*y≤y ==>comme y< 4==>  -2*y<x*y<4

 -2*y<x*y il suffit de multiplier 1  y < 4. par -2 pour obtenir -2≥-2*y>-8 et donc 

-8<x*y<4

[skate81]

Pour résumer, quand on a -2 < x  1, il suffit de multiplier les bornes de x par la borne supérieure de y ? (c'est-à-dire par 4) ? Et en même temps on regarde si y peut prendre la valeur 4 (ici non). Faut-il juste faire ça ou c'est une autre explication ?

[Barbidoux]

Non. Pour obtenir l'encadrement de x*y sachant que on a  -2 < x  1 et    1  y < 4 on peut intuitivement conjecturer que -8 <x*y<4 en se disant que si y vaut 4 et x vaut -2 alors x*y vaut -8, et que si  si y vaut 4 et x vaut 1 alors x*y vaut 4 mais pour le démontrer il faut applique les règles qui concernent les inéquations et faire la démonstration comme je l'ai faite. 

 

[skate81]

Ah d'accord j'ai compris !! En tout cas, merci beaucoup et je vous souhaite une bonne soirée.