DM 1

[NoctisX55]

Bonjour!


Je voudrais que quelqu'un puisse m'aider avec une partie de mon devoir maison s'il vous plaît. Je remercie d'avance ceux ou celles qui m'aideront!

Voici l'énonce:

f est la fonction définie sur [0,1] par f(x)=x². On note a l'aire du domaine D situé entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x=1. On se propose de déterminer une valeur approchée de a.

1. Avec 5 intervalles

On subdivise l'intervalle [0,1] en cinq intervalles de même longueur et on construit les figures suivantes:

a)Calculer la somme des aires des rectangles contenus dans D (figure 1).
b)Calculer la somme des aires des rectangles qui contiennent D (figure 2).
c)En déduire un encadrement de a.

2. Avec n subdivisions

On subdivise l'intervalle [0,1] en n intervalles (n ∈ N , n≥2) de même longueur 1/n. On construit comme ci-dessus n rectangles qui sont contenus dans D et n rectangles qui contiennent D.

a)Démontrer que la somme des aires des rectangles contenus dans D est donnée par:
An=1²+2²+3²+...+(n-1)² / n^3
et que la somme des aires des rectangles qui contiennent D est donnée par:
Bn= An=1²+2²+3²+...+n² / n^3
b)Un logiciel de calcul formel affiche:
1.Cn:=somme(k²,k,1,n) 2.(n+1)^3 -3.(n+1)²+n+1/6
2.factoriseer(Cn) ((n+1).(2.n+1)).n /6


En déduire que:

Bn=((n+1)(2n+1))/6n² et An=((n-1)(2n-1))/6n²
c)Déterminer le rang n à partir duquel Bn-An≤10^-6
d)En déduire un encadremement de a d'amplitude inférieur à 10^-6.

Bon alors, pour les question 1.a), 1.b) et 1.c), c'est bon je les ai faites. Le problème vient après...

2.a)Les rectangles contenus dans D ont pour largeur 1/n et pour longueur f(1/n). Or f(x)=x², donc An=(1/n)*(1/n)²=1/n^3. Le problème c'est que je n'arrive pas à obtenir le (n-1)².

Les rectangles contenus dans D ont pour largeur 1/n et pour longueur f(1/n). Or f(x)=x², donc Bn=(1/n)*(1/n)²=1/n^3. Ici je sais pas comment avoir le n².

b) Bn=[2.(n+1)^3 -3.(n+1)²+n+1]/6=[2(n^3+3n²+3n+1)-3(n²+2n+1)+n+1]/6=(2n^3+3n²+n)/6=(2n²+3n+1)/6n²=[(2n+1)(n+1)]/6n²

Et pour An je n'arrive pas à trouvé (n-1)(2n-1), soit 2n²-3n+1.

c)Bn-An≤10^-6
[[(n+1)(2n+1)]-[(n-1)(2n-1)]]/6n²≤10^-6
(2n²+3n+1-2n²+3n-1)/6n²≤10^-6
1/n≤10^-6
n≥10^6

d)Je ne comprends pas le sens de la question.

[Barbidoux]

à rédiger de manière détaillée ....

la suite ne devrait pas te poser de problèmes....

[NoctisX55]

Bonjour,

tout d'abord je tiens à vous remercier de votre aide mais il y a deux choses que je ne comprends pas. Pourquoi dans l'expression avec sigma avons nous An qui a n-1 alors que Bn a n ? Et pourriez vous m'expliquer la question 2)b) (pas besoin de la réponse je veux juste en comprendre le sens ^^) s'il vous plaît ?

Sur ce je vous souhaite une bonne nuit.

P.S: Dans l'expression de Bn dans l'exercice 2)a) (votre correction) ne devrait-on pas avoir f((k+1)/n) au lieu de f(k/n) ? Sinon, je vous prie de m'excuser de toute ces questions mais je me refuse de copier bêtement les réponses qu'on me donne sans les comprendre! Ça bloque mon "évolution" en tant qu’élève, perdant ainsi l’intérêt de votre aide ^^.

[Barbidoux]

[NoctisX55]

Bonjour,

 

une nouvelle fois je vous remercie de votre aide je vous prie de m'excuser de ma réponse tardive. Grâce à vos explications, j'arrive à mieux comprendre la démarche  entreprendre pour cet exercice ^^!

 

Sur ce je vous souhaite une bonne jourée: