Devoir Maison Sur √2

[redhead]

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour vendredi. Merci de m'aider ! J'ai commencé à le faire mais je bloque sur certains questions.

1. Résultats préliminaires

a) Soit n un entier relatif. Développer (2n+1)—> 4n^2+4n+1

b) Soit p un nombre impair. p s'écrit donc sous la forme 2n+1. Montrez que p^2 est un nombre impair.

c) Soit q un nombre tel que q^2 soit un nombre pair. Montrez que q est pair. Indication : supposez que q est impair.

2.L'irrationnalité de √2.

Supposons que √2 est un nombre rationnel.

a) pourquoi peut on écrire que √2= a/b avec a et b deux entiers premiers entre eux.—> a/b où a et b sont des entiers naturels non nuls et √2=a/b alors en passant au carré on obtient a^2=2b^2

b) Montrez alors que a^2=2b^2

c) En déduire que a^2 est pair, puis que a est pair.

d) Justifiez que a peut s'écrire a=2k avec k un nombre entier

e) Remplacez a dans l'égalité de la question 2.b et montrez que b^2 est pair. Que conclure sur b??.

f) Montrez que cela aboutit à une contradiction par rapport à l'hypothèse de départ? Indication : contradiction dans les deux entiers premiers entre eux.

Voilà merci de m'aider

[Barbidoux]

voir là http://www.cspu.be/~termollem/3e/3echap1/irrationalite-racine2.pdf