Chiffre Des Dizaines D'une Puissance

[DiiKenZ]

Bonjour, j'ai trouvé le chiffre des unités de 2014^2014, mais maintenant je dois déterminer le chiffre des dizaines.

Et ceci par un calcul de congruences, pourriez-vous m'aider ?

Pour l'unité j'ai trouvé et démontré le calcul par récurrence avec des congruences mais pour le chiffre des dizaines je ne trouve aucune ressemblance dans les puissances successives de 14 avec 14 modulo 100.

[elp]

Tu es sur la bonne voie.

2014 est congru à 14 modulo 100.

les puissances successives de 14 sont congrues à 1,14,96,44,16,24,36,04,56,84,76,64,96,44,16 etc...

regarde à quoi sont congrues les puissances d'exposant 2012 et d'exposant 2

sauf erreur les 2 derniers chiffres de ta puissances sont 1 et 6

[DiiKenZ]

merci de votre aide, mais comment démontrer cette périodicité ? (faut-il la démontrer ?)

et ensuite pourquoi les puissances d'exposant 2012 et d'exposant 2 ? car 2014 = 2012 + 2 ?

[elp]

14² congru à 96 mod 100

14^12 aussi donc à 14^2

on peut démontrer par récurrence

supposons que 14^(10k+2) congru à 14^2

14^(10(k+1)+2)=14^(10k+10+2)=14^(10k+2)*14^10 donc congru à 14^2*14^10 donc à 14^12 donc à 14^2

14^2014=14^((201*10+2)+2) dc congru à 14^2*14^2 dc à 96*96 =9216 dc congru à 16

[DiiKenZ]

ok parfait merci beaucoup, mais comment en avez vous déduit que 14^(10k+2) était congru à 14^2 ? car il l'est tout les 10 nombres ? 2 puis 12 puis 22...

[elp]

j'ai d'abord calculé à quoi étaient congrues les premières puissances de 14.

On s'aperçoit qu'il y a périodicité et il ne reste plus qu'à le prouver ( par récurrence).

voir message d'hier:

" supposons que 14^(10k+2) congru à 14^2

14^(10(k+1)+2)=14^(10k+10+2)=14^(10k+2)*14^10 donc congru à 14^2*14^10 donc à 14^12 donc à 14^2 "

2, 12, 22, 32 ,........2012 st congrus à 96.

on aurait pu faire la même chose avec 4, 14, 24, 34 ....2014

Bonne journée.